61 



In een vlak waarin A geïsoleerd is, vormen de overige punten van 

 F 3 een trek der derde orde of een rechte. Deze restkromme is een 

 afgesloten puntverzameling (zij is de continue afbeelding van een 

 cirkel) en heeft dus een minimumafstand van A. 7A] deze minimum- 

 afstand e l in &, e 2 in /? 2 enz. Wanneer een punt B de restkromme 

 in & doorloopt, verandert de afstand AB continu van ?, tot oo, in 

 p? 2 van f, tot oo enz. (wanneer een punt A ligt op afstanden b x en 

 b 2 van twee punten B x en B 2 eener samenhangende puntverzameling, , 

 dan behoort bij elke b s zoodanig dat b x ^> b z ^> 6 2 minstens één 

 punt der verzameling waarvoor AB i = b 3 ). 



De reeks s 1} e 2 , e 3 . . . . nadert tot nul. Zij d 13 d 2 , d 3 . . . een afdalende 

 deelreeks en laten de correspondeerende vlakken zijn fa fa fa . . . 



In fa kiezen we een punt jS 2 ' van F 3 zóó dat d\ ]> AB 2 ' > d 2 



>) P<5g J> >y >1 55 -O a 55 55 55 J, ^j ^> i4x> 2 ^> ff 2 



en „ „ B 3 ' „ „ „ „ ó 2 > AB S ' > d 3 



In #> 4 kiezen we een punt B 2 " „ „ „ ,, d x > AB 2 " > d 2 



en „ „ ,63" „' „ » „ é 2 >AB 3 " > d 3 



en „ „ B 4 ' „ „ „ „ d 3 > JjS 4 ' > d 4 



enz. 



J3 a ', jB,", 5,'" hebben grenspunt B 2 in /? zóó dat d, ^ ^1^ 2 ^ d 2 



'B;,B,",B t "\... „ „ B s „ „ „ d.^AB^d, 



enz. 



i^ 3 is afgesloten, dus B 2 , B 3 , B 4 . . . behooren alle tot F 3 . Verder 



is dj, é 2 , d z een tot nul convergeerende reeks, dus is A grenspunt 



van F 3 in vlak p\ 



We gaan nu een eindigen bol om A construeeren waarbinnen F 3 

 geheel aan één kant van a ligt (behalve het punt A in a). A is 

 geïsoleerd in «, dus bestaat om A in a een eindige cirkel c die geen 

 verdere punten van F 3 bevat. 



Zij b de bol om A gaande door c. De omgeving van ^1 op F 3 ie 

 het (1,1) continue beeld van de omgeving van een punt in een plat 

 vlak. Laat hierbij A\ met A correspondeeren. De afbeelding is (1,1) 

 continu, dus er bestaat een eindige cirkel c l om A x zóó dat alle 

 inwendige punten van c, correspondeerende punten hebben binnen 

 bol b, en een bol b' concentrisch met b gevonden kan worden zóó 

 dat alle punten van F 3 binnen b' correspondeerende punten hebben 

 binnen c x . 



Stel binnen b' lag F 3 niet geheel aan één kant van «, dan kan 

 als volgt een tegenspraak worden verkregen : 



Kies twee punten B en C van F 3 binnen bol />' en aan verschil- 

 lende zijden van a. De correspondeerende punten S, en (\ liggen 

 binnen c x en kunnen verbonden worden door oen open Jordansche 



