62 



kromme, niet gaande door A 1 en geheel binnen c v Het beeld K 

 van deze kromme op F 3 is afgesloten en samenhangend (beide deze 

 eigenschappen zijn invariant voor (1,1) continue transformaties). K 

 ligt geheel binnen b, l)evat punten aan beide zijden van o, maar 

 geen punt van a zelf (A is het eenige inwendige punt van c dat 

 tot F 3 behoort). K zou dus gesplitst zijn in twee afgesloten ver- 

 zamelingen, één aan eiken kant van «, maar dit is onmogelijk daar 

 K samenhangend is. 



Resumeerende -. Door de lijn a gaat een vlak « waarin A geïso- 

 leerd, en een vlak fi waarin A niet geïsoleerd is. Bovendien kan 

 men een omgeving van A -aanwijzen, waarbinnen F 3 geheel aan één 

 zijde van « ligt, laat ons zeggen beneden «. Hieruit volgt dat binnen 

 die omgeving van A de doorsnede van F 3 en (i geheel beneden lijn 

 a ligt (altijd uitgezonderd het punt A dat op a ligt). 



Op grond van de mogelijke vormen van elementairkrommen der 

 derde orde blijven nu twee mogelijkheden over: 



1. A is gewoon punt in /? met a tot raaklijn. 



2. A is keerpunt in /?. 



Laat A keerpunt in /3 zijn en b de keerpuntsraaklijn. In geen 

 vlak door b kan A geïsoleerd zijn, daar de takken welke in het 

 keerpunt in /? samenkomen, punten van F s leveren aan beide zijden 

 van elk dezer vlakken binnen elke omgeving van A. Maar boven a 

 bestaat een eindige omgeving van A die geen punten van F 3 bevat, 

 "dus in elk vlak door b is A hetzij keerpunt, hetzij gewoon punt 

 met raaklijn in «. We gaan aantoonen dat wanneer A keerpunt in 

 /S is, het geen gewoon punt in twee andere vlakken door b kan zijn. 



Laten a x , « 2 , « g . . . . een reeks van evenwijdige vlakken zijn die 

 steeds stijgend tot o convergeeren. Laten de snijpunten van b en 

 «!, a 2 , «,.... respectievelijk zijn B lf B^, B s . . . . Wanneer de vlakken- 

 reeks hoog genoeg begint, heeft elk vlak « 1? « 2 ..., een punt gemeen 

 met elk der beide takken die in het keerpunt in p samenkomen. 

 Laten deze punten zijn B,' en B,", B 2 ' en BJ', BJ en B s ". . . . Geen van 

 deze punten kan geïsoleerd zijn in de vlakken a, « 2 . . . , daar de 

 keerpuntstakken in [3 punten van F 3 leveren aan beide zijden van 

 elk dezer vlakken binnen elke omgeving van B x ' en B^" .... 



Een fundamentaalreeks van samenhangende puntverzamelingen, 

 elk met breedte > p hebben tot limiet een samenhangende verza- 

 meling met breedte ^p. Hieruit volgt dat voor n groot genoeg de 

 punten B n ' en B n " niet gelegen kunnen zijn op oneven krommen in a n , 

 aangezien een oneven trek steeds oneindige breedte heeft en de 

 limietverzameling dus een kromme in « zou zijn door A. Maar 



