63 



wanneer voor n grooter dan zekere eindige waarde de punten B„' 

 en B n " noch geïsoleerd kunnen zijn, noch gelegen op een oneven trek, 

 dan moeten zij liggen op even trekken, welke in dit geval niet 

 anders kunnen zijn dan ovalen. Klaarblijkelijk contraheeren deze 

 ovalen wanneer n toeneemt, en A is het eenige grenspunt. 



Laten nu y en ó de vlakken door h zijn waarin A verondersteld 



wordt gewoon punt te zijn (met 

 raaklijnen in «). De snijlijnen van 

 a n met /?, y, ö noemen we respec- 

 tievelijk a„, c n en d„. Klaarblijke- 

 lijk zijn B„' en B n " de snijpunten 

 van a„ mét het ovaal in vlak «„. 

 B n is een punt van de keerpunts- 

 raaklijn in /? en B n ' en B„" liggen 

 op de takken welke in het keer- 

 punt samenkomen van verschil- 

 lende zijden der raak lijn. Op lijn 

 a n ligt B n dus tusschen B n ' en 

 B n ", m.a.w. B n is inwendig punt van het ovaal in a n . Hieruit 

 volgt dat de lijnen c„ en d n door B n elk twee punten met het ovaal 

 gemeen hebben, steeds gescheiden door B n . Laten deze punten zijn 



C n ', C n ", en Dn, D n " (fig. 1). 



A is keerpunt in vlak fi met b tot raaklijn, maar in y en ó is A 

 gewoon punt met raaklijn in a K Hieruit volgt dat door n groot ge- 



noeg te nemen de verhoudingen " r en " ", willekeurig klein 



B„ C n B n Bn 



kunnen worden gemaakt, zelfs van de tweede orde t.o.v. den afstand 

 der vlakken « en «„. Verder blijven de hoeken tusschen a n , c„ en 

 d n ^constant, dus voor n groot genoeg zullen de rechtelijnsegmenten 

 C n ' D n ' en B„ B n ' geen punt gemeen hebben, en dit is in strijd met 

 één der fundamenteele eigenschappen van ovalen. 



De volgende vraag doet zich voor: Is het mogelijk dat A gewoon 

 punt is in y en ó en keerpunt in [> maar met een keerpuntsraaklijn 

 verschillend van &? Het antwoord zal negatief blijken. De notatie 

 van snijpunten enz. blijft dezelfde als hierboven. In jS zouden de 

 keerpuntstakken in A aankomen van dezelfde zijde van b, maar in 

 7 en d zouden de takken in A samenkomen van verschillende zijden 

 van b. Voor n groot genoeg zou het ovaal in a n dus zoodanig zijn 

 dat op de lijnen c„ en (/„ het punt B„ gelegen is tusschen de snij- 

 punten met het ovaal, maar op de lijn a„ zouden dez«-> snijfuinton 

 aan dezelfde zijde van B n liggen. Dit beteekent dal B„ tegelijk in- 

 en uitwendig punt van het ovaal is: een contradictie. 



