64 



Het voorgaande kan als volgt worden samengevat : A wordt 

 ondersteld geïsoleerd te zijn in cc, en b is een lijn door A niet 

 gelegen in «. 



Wanneer A nu gewoon punt is in tioee verschillende vlakken door 

 b, dan kan het geen keerpunt zijn in eenig ander vlak door b. Maal- 

 ais A gewoon punt is in een vlak door b dan leveren de takken 

 welke in dat vlak in A samenkomen punten van F 3 aan beide 

 kanten, van elk ander vlak door b binnen elke omgeving van A. 

 In geen vlak door b is A dus geïsoleerd. Verder is een eindige 

 omgeving van A boven (e vrij van punten van F 3 , dus in geen vlak 

 kan A zijn dubbelpunt, buigpunt of gewoon punt met raaklijn niet 

 gelegen in cc. Wanneer A dus geïsoleerd is in «, en b een niet in a 

 gelegen lijn door A is, kan het slot-resultaat als volgt worden gefor- 

 muleerd : Als er twee vlakken door b gaan waarin A geiooon punt 

 is, dan is A geiooon punt in elk vlak door b, en al de raaklijnen 

 liggen in a. 



Tn het voorgaande vonden we dat in $ het punt A is : 



1. Hetzij gewoon punt met a tot raaklijn. 



2. Hetzij keerpunt. 



Onderstellen we de eerste mogelijkheid. We wentelen a in £ een 

 weinig om A in beide richtingen tot d en a". Mits deze wentelin- 

 gen klein genoeg zijn, hebben a' en a" elk drie verschillende punten 

 met F 3 gemeen 1 ). 



Op grond hiervan kan A in geen vlak door a! of a'! geïsoleerd-, 

 dubbel-, of keerpunt zijn. Buigpunten zijn echter ook uitgesloten, 

 daar één der beide takken van uit zoodanig punt zou vertrekken 

 boven u, terwijl boven « een eindige omgeving van A geen punten 

 van F 3 bevat. Blijft dus slechts de mogelijkheid dat in elk vlak door 

 a' of a", A gewoon punt is met alle raaklijnen in u, weer omdat 

 boven u het punt A geïsoleerd is. 



Zij c nu een willekeurige lijn door A niet gelegen in et of /.?. De 

 twee vlakken door c en door d en a" respectievelijk verloonen ge- 

 wone punten in A. Maar op grond van het voorgaande resultaat 

 vertoont dan elk vlak door c een gewoon punt in A en alle raak- 

 lijnen liggen in ar. 



l ) Juel, loc. cit. Deensche Acad. Wanneer snijpunten worden geteld zooals in 

 het voorgaande is uiteengezet, hebben een elementairkromme der derde orde en 

 een willekeurige lijn in haar vlak hetzij drie punten, hetzij één punt gemeen. Een 

 raaklijn in een gewoon punt A draagt dus nog een ander punt der kromme. 

 Wordt deze raaklijn nu over een kleinen hoek om A gedraaid, dan gaat A over 

 in twee enkel tellende snijpunten A en B. Er moet echter nog een ander snijpunt 

 zijn, dus in haar nieuwe positie heeft de lijn drie verschillende snijpunten met de 

 kromme gemeen. 



