65 



c was echter een willekeurige lijn door A, slechts met de beper- 

 king niet in a of /? te liggen. In elk vlak behalve a en fi is A dus 

 gewoon punt met raaklijn in u. Verder werd A ondersteld gewoon 

 punt in /? te zijn, en de raaklijn bleek in u te liggen. De eenige 

 uitzondering is dus het vlak « zelf, waarin A geïsoleerd is en welk 

 vlak blijkbaar geheel beantwoordt aan onze definitie van raakvlak. 



We beschouwen nu de tweede mogelijkheid : A is geïsoleerd in a 

 en keerpunt in £?. Zij b de keerpuntsraaklijn. In geen vlak door b 

 kan A gewoon punt zijn, want dan kon volgens het voorgaande 

 A geen keerpunt in /3 zijn. Verder kan A in geen vlak door b geï- 

 soleerd zijn, aangezien b slechts het punt A met F 3 gemeen heeft. 

 In aanmerking nemende dat een eindige omgeving van A boven a 

 geen punten van F 3 bevat, blijft slechts over de mogelijkheid dat 

 A keerpunt is in elk vlak door b. b is keerpuntsraaklijn in elk van 

 deze vlakken, daar b alleen A met F 3 gemeen heeft. 



Nu telt een keerpunt dubbel op elke lijn behalve de raaklijn, dus 

 elke lijn door A (=|= />) heeft één en slechts één ander punt met F 3 

 gemeen, aangezien in het vlak door die lijn en b het punt A keer- 

 punt is met b tot raaklijn. In een vlak door A dat b niet bevat 

 heeft elke lijn door A dus één en niet meer dan één ander punt 

 met F 3 gemeen. A is dus geïsoleerd in elk vlak dat b niet bevat 

 en beantwoordt dus aan onze definitie van uitzonderingspunt. 



Résumé van deze eerste paragraaf: 



Ondersteld werd dat A geïsoleerd is in «. Een vlak $ werd ge- 

 construeerd waarin A niet geïsoleerd is. Uit het onderstelde volgde 

 dat A in /? is hetzij gewoon punt met raaklijn in a, hetzij keer- 

 punt. In het eerste geval bleek a raakvlak te zijn, terwijl de tweede 

 onderstelling tot de conclusie leidde dat A uitzonderingspunt is. 



§ 2. Er is hoogstens één uitzonderingspunt mogelijk. 

 Stel er waren twee uitzonderingspunten : A en B. In een vlak 

 door A en B bestaan vier a priori mogelijkheden : 



1. A en B zijn beide geïsoleerd. 



2. A en B zijn beide keerpunt. 



3. A is geïsoleerd en B is keerpunt. 



4. A is keerpunt en B is geïsoleerd. 



Geen elementairkromme der derde orde kan echter twee keer- 

 punten, twee geïsoleerde punten, of één van elk hebben, dus de 

 gewenschte contradictie is verkregen. 



§ 3. Wanneer A dubbelpunt is in een vlak « en keerpunt in niet 

 meer dan één vlak, dan is a raakvlak. 



De punten van F 3 gelegen in vlak « vormen een elementair- 



Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVI. A°. L917 IS. 



