Q6 



kromme der derde orde K mei dubbelpunt in A. A is snijpunt van 

 twee convexbogen K x en /v 2 . Laat c een cirkel zijn om A in «. 



Door c klein genoeg te nemen kan men 

 zorgen dat alle punten van K gelegen 

 binnen c behooren tot K x -\- K^, en 

 verder dat c slechts twee punten, C 

 en E, gemeen heeft met K lf en eveneens 

 slechts twee, D en F, met K 2 . 



De takken AC, AD, AE en AF 

 zijn verbonden door 4 puntverzame- 

 lingen I, II, III en IV, zonder gemeen- 

 schappelijke punten, welke alle be- 

 hooren tot F 3 en waarvan elk geheel 

 gelegen is aan één zijde van a. 



Betreffende deze vier puntverzamelingen bestaan op grond van de 

 stelling van Jordan voor de ruimte l ) twee mogelijkheden : 



De eerste mogelijkheid komt hierop neer, dat AC en AD door I, 

 AD en AE door II, AE en AF door III en AF en AC door IV 

 worden verbonden. Laat boog CE zijn hollen kant naar F keeren 

 en nemen we een oogenblik aan dat III en IV beide boven « ge- 

 legen zijn. Laten we nu een rechtelijnsegment van boven af even- 

 wijdig tot E' O convergeeren, dan zou dat segment ten slotte zoowel 

 met III als met IV minstens twee punten gemeen moeten krijgen : 

 een ongerijmdheid. Dus kunnen III en IV niet aan denzelfden kant 

 van (t liggen. Keert DF haar hollen kant naar E toe, dan kunnen 

 ook II en III niet aan denzelfden kant van « liggen. Dus II en IV 

 liggen aan denzelfden kant van «, maar dan ligt I zeker aan den 

 anderen kant, want lagen alle drie aan denzelfden kant van «, dan 

 zou een lijnsegment dat van dien kant evenwijdig tot PQ conver- 

 geert ten slotte minstens één punt gemeen krijgen met II en IV 

 elk en minstens twee met I, dus totaal minstens vier, wat weer 

 onmogelijk is. De conclusie is derhalve dat of I en III boven en 

 II en IV onder u liggen of omgekeerd. 



De tweede mogelijkheid komt hierop neer, dat AC en AE boven 

 « door I, AE en AF boven of beneden « door II, AF en AD 

 beneden a door III, AD en AC boven of beneden a door IV worden 

 verbonden. Ligt dan IV beneden « en kiezen we in a een punt A' 

 in de buurt van A en een punt D' in de buurt van D zóó, dat 

 het rechtelijnsegment A' D' boog AD snijdt zoowel bij A als bij D, 

 dan moet een rechtelijnsegment, dat we van beneden af evenwijdig 



v ) Brouwer, Math. Ann. 71, p. 314. 



