67 



tot A' ' D' laten convergeeren, ten slotte zoowel met III als met IV 

 minstens twee punten gemeen krijgen : een ongerijmdheid. 1 ) De tweede 

 op grond van de stelling van Jordan toegelaten mogelijkheid is dus 

 uitgesloten, en we mogen ons tot de eerste dier mogelijkheden be- . 

 perken. We nemen steeds aan dat I en III boven, II en IV onder 

 a liggen. 



Klaarblijkelijk is de puntverzameling I -f- A C -\- A D de (1,1) 

 continue afbeelding van een vlak gebied met een deel van zijn 

 grens. Binnen een eindige omgeving van het met A correspondeerende 

 punt heeft dit gebied Jordansch karakter, aangezien de bogen AC 

 en AD open Jordansche krommen zijn en de (1,1) continue afbeel- 

 dingen dus eveneens. Hetzelfde kan gezegd worden van U-\-AD-\- AE, 

 III + AE -f AF en IV -f A F -f AC. 



Ten slotte merken we op dat binnen een eindige omgeving van 

 A alle punten van F* welke niet in « liggen, behooren tot I -|- II -|- 

 -f- III -f- IV. 



Zij b een lijn door A in a zoodanig dat de bogen AC en AF 

 aan de eene, en AD en AE aan de andere zijde liggen. Zij /? een 

 vlak door b (=\= «). AC en AD zijn boven a verbonden door 

 I. I -f- AC -}- AD is de continue (1,1) afbeelding van een vlak 

 gebied en een deel van zijn grens. Laat I : met I correspondeeren, 

 A l C 1 met AC, en A l D ï met AD. Binnen een eindige omgeving van 

 A t heeft het gebied I : Jordansch karakter. 



We gaan gebruiken de zoogenaamde „Unbewalltheit" 2 ) van een 

 Jordansch gebied. Voor twee dimensies kan deze als volgt worden 

 geformuleerd : Zij J een gesloten Jordansche kromme, 1 het in- 

 wendige en E het uitwendige gebied. Twee punten Q en R van J 

 kunnen altijd verbonden worden door een open Jordansche kromme 

 die geheel tot 1 en een andere die geheel tot E behoort. Laat P 

 een derde punt van J zijn en c een willekeurige cirkel om P. De 

 ,, Unbewalltheit" zegt nu dat door Q en R dicht genoeg bij P te kiezen 

 de verbindende krommen geheel binnen c kunnen worden gehouden. 



Dit toepassende op ons geval blijkt dat punten van A 1 C l en .-1, D l 

 verbonden kunnen worden door open Jordansche krommen behoorende 

 tot Ii binnen elke omgeving van A x . Dus in de (1,1) continue 

 afbeelding kunnen AC en AD binnen elke omgeving van .1 ver- 

 bonden worden door open Jordansche krommen op I. Elk van deze 



1 ) Met behulp dezer laatste redeneering kan de eerste mogelijkheid eenvoudiger 

 worden behandeld dan hier is geschied. 



2 ) Brouwer, Math. Ann. 71, p. 3 ü 2l. 

 Schoenflies, Mongeulehre 2, hoofdstuk 5. 



5* 



