68 



krommen heeft minstens één punt met vlak /? gemeen, daar AC en 

 AD aan verschillende kanten van dit vlak liggen, dus in vlak fi is 

 A grenspunt van I, en op dezelfde wijze blijkt dat A in /? grens- 

 pnnt is van III. Maar I en III hebben geen punten gemeen, dus 

 vertrekt in fi van A uit een tak op I en een andere op III. I en III liggen 

 beide boven «, dus vertrekken in ft twee takken uit A boven «. 



Derhalve komen in vlak /? twee takken in A aan van denzelfden 

 kant van b. Op grond van de mogelijke vormen der elementairkrom- 

 men van de derde orde blijven over drie mogelijkheden a priori : 



1. A is dubbelpunt in /?. 



2. A is keerpunt in /?. 



3. A is gewoon punt in $ met b als raaklijn. 



1. Stel A was dubbelpunt in (3. Twee takken AP en ^4Q komen 

 in A aan van boven b, dus twee andere AS en AR van beneden è 

 (drie van één kant en één van den anderen is onmogelijk daar b 

 behalve A nog een punt van F 3 draagt). We laten zien dat de 

 takken AR en AS liggen hetzij beide op II, hetzij beide op IV. 

 Stel AR en AS lagen respectievelijk op II en IV. Dan zouden 

 AR en AS beneden « niet kunnen samenhangen, daar II en IV 

 geen punten gemeen hebben. Maar AS zou via A C en AF verbonden 

 zijn met AP en AQ en AR zou eveneens via AD en AF samen- 

 hangen met AP en AQ. Dus zouden AR en AS slechts samen- 

 hangen via AP en AQ. Dit echter leidt tot een ongerijmdheid, 

 aangezien de vier takken in /? op analoge wijze samenhangen als 

 die in « en AR en AS dus verbonden moeten zijn door een punt- 

 verzameling welke geheel aan één zijde van (S ligt. Indirect is dus 

 aangetoond dat AR en AS liggen hetzij beide op II, hetzij beide op 

 IV, laat ons aannemen op II. 



De omgeving van A op F* is het (1,1) continue beeld van de 

 omgeving van een punt in een plat vlak. Laat A correspondeeren 

 met A x , AF met A X F X , AD met A l D 1 II, met II„ AR met A X R X 

 en AS met A 1 S 1 . Binnen een eindige omgeving van A x wordt het 

 gebied 1^ door de open Jordansche krommen A X R X en A X S X verdeeld 

 in drie gebieden zonder gemeenschappelijke punten. In de buurt van 

 A x hebben al deze gebieden Jordansch karakter. We vatten in het 

 oog de beide buitenste gebieden, n.1. die welke respectievelijk 

 A X F X met A X R X en A X S X met A X D X verbinden 1 ). De (1,1) continue 

 beelden van deze gebieden op F 3 verbinden respectievelijk AE met 



J ) A priori is mogelijk dat A^ met A^ en A X R X met A X D X samenhangt, 

 maar overgaande tot de afbeelding op .F 3 , komt men zoo in strijd met de 

 stelling van Jordan voor de ruimte. 



