70 



« kan niet zijn grensvlak van vlakken door b waai'in A niet is dubbel- 

 punt. Door a en $ in onze redeneering te verwisselen kan hetzelfde 

 gezegd worden van vlak /?. 



Het volgende resultaat is dus verkregen : Wordt a om b gedraaid 

 dan blijft aanvankelijk bij elk van beide draaiingsrichtingen A dubbel- 

 punt. In geen van beide richtingen kan er een laatste vlak zijn, 

 waarin A dubbelpunt is, dus of er is een eerste vlak waarin A niet 

 is dubbelpunt, öf alle vlakken door b vertoonen een dubbelpunt in A. 



In een eerste vlak waarin A niet dubbelpunt is komen toch nog 

 twee takken in A aan van boven « (één op I en de andere op III), 

 dus in een dergelijk vlak is A of gewoon punt met b als raaklijn 

 of keerpunt. Het geval dat A keerpunt is zal sub 2 worden be- 

 handeld. Momenteel, behoeven dus slechts twee onderstellingen te 

 worden beschouwd, n.1. dat er een eerste vlak is waarin A is niet 

 dubbelpunt, maar gewoon punt met b als raaklijn, en ten tweede dat 

 alle vlakken door b een dubbelpunt in A vertoonen. We laten 

 achtereenvolgens zien dat beide aannamen tot contradicties voeren. 



Zij 6 het eerste vlak waarin A is gewoon punt met b tot raaklijn 

 en 6 ! d" 3 tf 8 . . . , een fundamentaalreeks van naderende vlakken (alle 

 gaande door b) waarin A is dubbelpunt. In ó bestaat een eindige 

 omgeving van A die aan één zijde van de raaklijn b geen punten 

 van F % bevat, laat ons zeggen beneden b. In aanmerking nemende 

 dat F s afgesloten is, is dit alleen mogelijk wanneer in de naderende 

 vlakken de lus der kromme (d. i. het deel der tweede orde) op den 

 duur steeds ligt in het halfvlak van ó n dat tot het onderste halfvlak 

 van é convergeert, en wanneer die lussen bovendien uitsluitend tot 

 A contraheeren. Voor n ^> zekere eindige waarde vertrekken in d„ 

 de takken die tot het deel der derde orde behooren dus vanuit A 

 boven b. Deze takken keeren aanvankelijk hun hollen kant naar de 

 lijn /;. Beide takken gaan naar het oneindige en hebben dus beide 

 een eveneens naar het oneindige gaanden limiettak. Bij de limiet kee- 

 ren de takken die in ó van A uitgaan aanvankelijk hun bollen kant 

 naar b (b is raaklijn in een gewoon punt). Een fundamentaalreeks 

 van eindige concave takken kan echter geen convexen tak tot limiet 

 hebben, en we komen dus tot een ongerijmdheid. Men kan hiertegen 

 inbrengen dat op de naderende takken buigpunten tot A kunnen 

 convergeeren, maar daar een kromme der derde orde met dubbelpunt 

 slechts één buigpunt bevat 1 ) mag men rekenen dat öf alleen op den 

 linker öf alleen op den rechter tak buigpunten tot A naderen, zoo- 

 dat de contradictie bij den anderen tak ^behouden blijft. 



x ) Juel loc cit. Deensche Acad. § 5. 



