71 



Stel nu, alle vlakken door b vertoonen een dubbelpunt in A. We 

 denken weer dat AE en AD beneden a verbonden zijn door II, en 

 AC en AF eveneens beneden a door IV (fig. 3). 



De takken AR en AS die in [3 vanuit A naar beneden gaan 

 denken we ons weer gelegen op II. In het voorgaande vonden wij 

 dat als « om b wordt gedraaid zóó dat de rechterhelft naar beneden 

 gaat (tig. 3), A dubbelpunt blijft, en de takken die vanuit A naar 

 beneden gaan aanvankelijk op IV blijven liggen. Evenals A C en AF 

 beneden « verbonden zijn door IV, hangen de takken AR en AS 

 satnen door een deelgebied van II rechts van /?. Uit deze analogie 

 volgt dat wanneer [3 om b wordt gedraaid, zóó dat de onderste helft 

 naar rechts gaat, dan aanvankelijk de takken die vanuit A naar beneden 

 gaan blijven vertrekken op II. Anders gezegd: Er kan geen laatste 

 vlak zijn waarin de takken op 11 vertrekken, en hetzelfde geldt voor IV. 



Beschouwen we nu de verzameling van halfvlakken door b gelegen 

 beneden a. In elk vlak door b is A dubbelpunt, dus in elk dier 

 halfvlakken vertrekken twee takken "uit A beneden a. We vonden 

 dat wanneer deze takken op II liggen hetzelfde geldt voor de takken 

 in alle meer naar links gelegen halfvlakken. Eveneens wanneer de 

 takken op IV liggen geldt dit voor alle meer naar rechts gelegen half- 

 vlakken. Verder kan de verzameling van halfvlakken met takken 

 op II geen laatste element rechts hebben en die met takken op IV 

 geen laatste element links. Maar alle halfvlakken hebben twee 

 takken beneden a, dus de twee soorten van halfvlakken met takken 

 op II en IV respectievelijk worden gescheiden door een halfvlak 

 met één tak op II en één op IV : een ongerijmdheid (pag. 68). Dus 

 kunnen niet alle vlakken door b een dubbelpunt in A hebben. 



2. We komen nu aan de tweede mogelijkheid gegeven op pag. 68, 

 n.1. dat A keerpunt is in /?. Zij a weer het vlak waarin A dubbel- 

 punt is en b de snijlijn van u en ,3. Bij de in § 3 te bewijzen 

 stelling is ondersteld dat A keerpunt is in niet meer dan één vlak. 

 Wanneer dus c een lijn door A in a is (=\=b) kan A nooit keerpunt 

 zijn in eenig vlak door c. Mits c niet is nadere raaklijn in a bewijst 

 de sub 1 gegeven redeneering dat A geen dubbelpunt kan zijn in 

 eenig vlak door c (behalve in «). Op grond van de mogelijkheden 

 gegeven op pag. 68 blijkt dan dat A gewoon punt is in elk vlak 

 door c (behalve in a) met c tot raaklijn. 



Laat AF keerpuntsraaklijn in $ zijn (tig. 4). Lijn c in << kiezen 

 we in denzelfden hoek der nadere raaklijnen waarbinnen lijn b ligt. 

 Verder kiezen we in « een lijn (/ door A die geen nadere raaklijn 

 is, en in p' een lijn e die niet samenvalt met AF oi' b. Hel vlak 

 door (/ en e zij rf, dat door e en AF zij y. 



