73 



raaklijn. Maar b was een willekeurige lijn door A in «. waarvan 

 slechts was ondersteld dat zij geen nadere raaklijn was, en [3 was een 

 willekeurig vlak door b ,dat slechts niet met a mocht samenvallen. 

 Er is dus bewezen: In elk vlak door A dat niet met a samenvalt en 

 geen nadere raaklijn in « bevat is A gewoon punt met raaklijn in «. 



Om het bewijs dat a raakvlak is volledig te maken hebben we nog te 

 beschouwen doorsneden van F' in vlakken door een nadere raaklijn in a. 



In (c is A snijpunt van twee convexbogen waarvan gedeelten 

 door QS en PR in fig. 5 zijn aangegeven. Laat a (-DC) raaklijn 

 in A aan PR zijn en /? een willekeurig vlak door a (=|=«)- ^)e 

 krommingen der convexbogen worden ondersteld te zijn als in de 

 figuur aangegeven. 



Fig- 5- 



In £ kiezen we een lijn AB (=|=«") en we beschouwen een vlakken- 

 reeks $ x , /?„£,.... alle gaande door AB en convergeerende tot ^ 

 zóó dat de achterste helft van rechts tot /3 nadert (fig. 5). De snij- 

 lijn van « en /?„ is aangegeven door AC„ (a„). 



Laat het deel van F' dat AP en ^4*S verbindt boven « liggen 

 (het andere geval wordt strikt analoog behandeld). In elk vlak (ï„ 

 vertrekt een tak van A boven a in de richting A('„. Deze takken 

 hebben een limietverzameling in ( i behoorende tot de afgesloten ver- 

 zameling F 3 . Dezelfde redeneering toepassende die reeds is gebruikt 

 om aan te toonen dat A in geen vlak keerpunt kan zijn, kan hier 

 bewezen worden dat deze limiettak in /3 van uit .4 vertrekt boven <.- 

 in de richting AC. Indien n.l. deze tak in .1 een eindigen hoek mei 

 AC vormde, dan zou elke lijn binnen dezen hoek raaklijn in .1 /.ijn 

 in elk vlak behalve $, en dit is in strijd mei de reeds verkregen 



