74 



* 



resultaten. Voor het volledige bewijs moet men weten dat de rechte- 

 lijnsegmenten AC n geen punten van F 3 kunnen dragen die tot A 

 convergeeren. Dit nu is klaarblijkelijk het geval daar, wanneer de 

 lijnen a n tot a convergeeren, de punten A„ op AR tot A conver- 

 geeren, terwijl het punt A slechts dubbel telt op a. 



A priori is nog mogelijk dat de takken in de naderende vlakken 

 /?„ uitsluitend tot het punt A in /? convergeeren. Dan echter is 

 onvermijdelijk dat de naderende vlakken ovalen vertoonen die zich 

 tot A samentrekken. Al deze ovalen zouden AB snijden, dus zou 

 A grenspunt van F s zijn op AB en de geheele rechte AB zou tot 

 F z behooren, een mogelijkheid die van het begin af is uitgesloten 

 (er is namelijk ondersteld dat ons punt A niet gelegen is op een 

 rechte van F z ). 



Tusschen de takken AP en AS werd het oppervlak F* onder- 

 steld boven k te liggen, dus het deel van F 3 dat AS met AR ver- 

 bindt ligt onder a. Laten we nu de vlakken &, /? 3 , $, . . . . van den 

 anderen kant tot ft convergeeren, en beschouwen we de voorste 

 helften dezer vlakken (flg. 5), dan blijkt op dezelfde wijze dat in /? 

 een tak van A uitgaat beneden << in de richting AD. 



Dit alles samenvattende blijkt dat A buigpunt is in /? met a tot 

 raak lijn. 



Voor we tot \ 4 overgaan, bewijzen we eerst de volgende hulp- 

 stelling: Het is onmogelijk dat een snijpunt A voor een lijn b dubbel 

 telt in sommige vlakken door b en enkel in andere vlakken door b. 



Om dit aan te toonen is klaarblijkelijk voldoende te laten zien 

 dat een snijpunt A dat voor een lijn b diübbel telt in een fundamen- 

 taalreeks d\ (\ . . . . van vlakken door b naderende tot een limietvlak 

 ö, ook in ö dubbel telt voor b. 



Nemen we aan dat deze stelling onjuist is en brengen we vlak 

 bij en ter weerszijden evenwijdig aan b twee evenwijdige vlakken 



aan, die f\ <f 2 . . . . ö snijden in />/ b 2 ' . . . . b' respectievelijk b," b 2 " b", 



dan zou men in minstens één dier vlakken, bijvoorbeeld in het eerste, 

 teikens twee snijpunten met b'„ hebben, die tezamen convergeerden 

 tot één snijpunt met b'. Dit zou zoo blijven als we dit vlak even- 

 wijdig aan zichzelf tot b lieten naderen. In dat geval zouden nood- 

 zakelijk twee eindig blijvende takken uit A in S,, moeten conver- 

 geeren tot één enkelen eindigen tak uit A in 8, zoodat de beide 

 sectoren van het oppervlak, die in dien laatsten tak aan elkaar 

 grenzen, aan denzelfden kant van d zouden moeten liggen, een 

 onderstelling, waarvan de ongerijmdheid reeds in het eerste deel 

 van § 3 is aangetoond. 



