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par la forme différentielle quadratique: 



ds" 1 = X 2 g;jc dxi dxi . (2) 



i Je 



Démonstration. M. Einstein a proposé, dans son récent travail 

 cité, d'étendre Ie principe d'HAMiLTON de la maniere snivante : il 

 annule la variation 



'M' 



(£+1 + ;.(— g)i) dx dy dz dt, .... (3) 



oü JO est nne fonction qni joue un róle analogue a celui de L dans 

 l'étude du cliamp électromagnétique dépourvu de matière J ) ; oü 

 l=kC( — g)i, et oü A est une fonction de x,y,z et t, que nous 

 déterminerons plus loin"); dans Ie calcul de la variation d, on prend, 

 comme on sait, dx = dy = dz = dt = 0. Les tirets horizontaux qui 

 surmontent les symboles employés servent a rappeler qu'on a fait 

 usage des variables g lJc et de leurs dérivées. 



Les 10 équations différentielles des extrémales de (3) sont 3 ): 



im __ 



A[X-M + A(-#] = 0, ...... (4) 



i, m = 1, 2, 3, 4 



oü 



d d f d \ d' f d 



A = _ - 2 — — — + :S — — 



V dg im „ dx, \dg im s ) n . dx q dx r \dg hli >° T 



Remarquons que 



a" ( ~d\h = d (~& = i f ÖV~* ** 



V l 9) dg™ 2l 9) dg™ • 



Grace au determinant réciproque de g, on trouve aisément que: 



dg — 



-p- = -(2- Sim )gg im 



oü 6£t — 1> et e,„j = 0, quand i est différent de m. 

 Donc: 



im _ . 



0(-9) i =-H^-^)(-9)^9im (5) 



Les équations (4) et (5) donnent : 



T =-^ + ? 2 (Z - SimH - 9)i9im ' • • * • (6) 

 Par extension "), on aura encore dans Ie cas d'un champ gravi- 



1 ) Voir équations (324) a (329) de mon mémoire (Archives Teyler). 



2 ) M. Einsthin supposait que A était une constante. 



s ) Pour les détails, voir Ie chapitre Vil de mon mémoire (Archives Teyleb). 

 4 ) Voir 1'équation (353) de mon mémoire (Archives Teyleb,). 



