107 



n 



Cirkelbanen 



Bewegingen tusschen 



twee positieve waarden 



van r 



Beweging naar het 

 oneindige 



4 5... 



instabiel 



onmogelijk! 



mogelijk 



3 



stabiel 



mogelijk 

 (bovendien gesloten) 



mogelijk 



2 



stabiel 



mogelijk 

 (niet gesloten) 



onmogelijk ! 



Opmerkingen : 



1". Wij herinneren in verband hiermede aan een theorema van 

 Bertrand *) : De banen van een stoffelijk punt onder invloed van een 

 kracht naar een vast centrum en functie van den afstand tot dat- 

 centrum, beschreven, zijn slechts dan gesloten, als de kracht even- 

 redig met dien afstand is of omgekeerd evenredig met het vierkant 

 ervan. 



2 e . Merkwaardig is het, dat de planetenbanen, die met de ellip- 

 tische overeenkomen, ook in een niet-euclidische ruimte van drie 

 afmetingen gesloten blijken te zijn, als men de veranderingen in de 

 gravitatiewet en in de vergelijkingen der mechanica behoorende bij 

 de kromming der ruimte aanbrengt. (Verg. Liebmann) 2 ). 



3 e . We kunnen ons afvragen, wat er van de afleiding van Bohr 

 voor de reeksen in de spectra wordt in R n , als w=|=3 is. Laten 

 we bij die afleiding de wet der electrische aantrekking veranderen, 

 zooals die der zwaartekracht en evenals Bohr het moment van 

 hoeveelheid van beweging kwantiseeren. Uit het voorgaande is 

 duidelijk, dat voor n ]> 3 slechts van de cirkelbanen sprake kan zijn. 

 Men krijgt reeksen, die naar het oneindige loopen voor n ^> 4 en 

 voor n = 4 een singulier geval dat bijzonder merkwaardig is van 

 het standpunt der kwanten theorie. (Zie het aanhangsel II). 



§ 2. Translatie — rotatie, kracht — koppel, electrisch veld — 

 magnetisch veld. 



In R s is er dualisme tusschen draaiing en translatie, in zooverre 

 beide door drie kenmerkende getallen worden gekarakteriseerd. Dit 

 hangt nauw daarmede samen, dat evenveel coördinaten vlakken als 

 coördinatenassen bestaan. 



In elke andere R„ vallen die twee getallen niet samen. Het aantal 



') J. Bertrand, Comples Hendus. T. 77, 1873, p. 84',>. 



2 ) H. Liebmann, Niohteuklidische Geometrie. 2e Aufl. 1912, p. 207. 



