224 



voortbrengt. Deze materie heb ik „wereld materie" genoemd, en hare 

 densiteit is q . Gerekend over ruimte-eenheden van voldoende grootte 

 is deze q overal dezelfde. Plaatselijk kan zij echter veranderlijk 

 zijn : de wereldmaterie kan tot lichamen van grootere densiteit 

 gecondenseerd zijn, of ook plaatselijk een kleinere densiteit hebben, 

 of geheel ontbreken. Men zal volgens Einstein zich moeten voor- 

 stellen dat alle gewone materie (aarde, zon, sterren, nevels etc.) 

 aldus gecondenseerde wereld materie is, en misschien ook dat alle 

 wereldmaterie aldus gecondenseerd is. Er is dus geen verschil van 

 aard tusschen de wereldmaterie en de gewone of graviteerende materie, 

 de gravitatie wordt voortgebracht door plaatselijke afwijkingen in 

 de densiteit van de wereldmaterie. 



3. Wij zullen eerst de gravitatie verwaarloozen en alleen het 

 traagheidsveld beschouwen. Het drie-dimensionale lijn-element is 

 in de beide stelsels A en B: 



do 2 = dr 2 + R 2 sin 2 — [dip 2 -f sin 2 ip d& 2 \ 



Als R positief is en eindig, is dit het lijn-element van een drie- 

 dimensionale ruimte met constante positieve kromming. Er zijn 

 twee zulke ruimtevormen, n.1. de ruimte van Riemann 2 ) of 

 spherische ruimte (doppelt-elliptisch, naar Klein) en de elliptische 

 ruimte (einfach-elliptisch), die door Newcomb 2 ) is onderzocht. In de 

 spherische ruimte snijden alle ,, rechte" (d. i. geodetische) lijnen, die 

 door een punt gaan, elkaar nog in een tweede punt, het „tegen- 

 punt" van het eerste, dat op den afstand nR van het eerste punt 

 ligt ; in de elliptische ruimte snijden twee rechte lijnen elkaar slechts 

 in één punt. In beide ruimtes is de rechte lijn gesloten ; in de 

 spherische ruimte is hare geheele lengte 2?zR, in de elliptische nR. 

 In de eerste is de grootst mogelijke afstand tusschen twee punten 

 nR, in de tweede \nR. Beide ruimtes zijn eindig, doch onbegrensd. 

 Het volume van de geheele spherische ruimte is 2 i 2 R\ dat van de 

 elliptische ruimte is jt 2 R\ Voor waarden van r die klein zijn ten 

 opzichte van R. verschillen beide ruimtes slechts onmerkbaar van 

 de euclidische. 



Het bestaan van het tegenpunt, waar alle van een punt uitgaande 

 lichtstralen elkaar weer snijden, en waar ook, zooals beneden blijken 

 zal, de gravitatiewerking van een materieel punt (al is zijne massa 



J ) ' Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (1854). 

 '-) Elementary theorems relating to geometry of three dimensions and of 

 uniform positive curvature, Gkelle's Journal Bd. 83, blz. 293 (1877). 



