225 



nog zoo klein) oneindig groot wordt, is wel een bezwaar tegen de 



spherisehe ruimte, en leidt er toe liever de elliptische aan te nemen. 



Men kan deze op de euclidische ruimte afbeelden door de transformatie 



r = R tan / • . . . . . • ■ . (5) 



Het lijn-element wordt dan voor de twee stelsels A en B: 



dr 2 r 2 I dty 2 -V- sin 2 xb d& 2 ] 



ds 2 = ■ _ — J + c 2 dt 2 . . (GA) 



/ r a \ 2 r 2 



R 2 ) R 2 



dr 2 . r 2 \dq 2 -f sin 2 if> d& 2 ] c 2 dt 2 



ds 2 = L y ±-] . (<6B) 



/ r 2 \ 2 r 2 r 2 



1 -f— | H H 



R 2 ) ^ R 2 R 2 



Voor r = oo worden in het stelsel J alle g fJLV =0, behalve </ 44 , die 

 1 blijft. In het stelsel B wordt ook g Ai = 0. 



4. De wereldlijnen van lichttrillingen zijn geodetische lijnen in 

 de vier-dimensionale tijd-ruimte. De projecties hiervan op de drie- 

 dimensionale ruimte zijn de lichtstralen. In het stelsel A met de 

 coördinaten r, i|>, i) zijn deze lichtstralen ook geodetische lijnen 

 van de drie-dimensionale ruimte, en de lichtsnelheid is constant. 

 In het stelsel B is dit niet zoo. De lichtsnelheid is daar, in radieele 

 richting, v = c cos /• Men kan echter in B wel ruimte-coördinaten 

 invoeren, zoodanig dat ook hier de lichtsnelheid in radieele richting 

 constant wordt. Noemt men den voerstraal in deze nieuwe maat 

 gemeten h, dan moet dus 



cos x dh = dr 

 zijn. Deze vergelijking wordt geïntegreerd door 



h r 



sinh — = tan — ... .... (7) 



R R K ' 



Natuurlijk kan men ook in A deze transformatie uitvoeren. Het 



lijnelement wordt dan 



h 



— dh 2 — sinh 2 - [d\p 2 + sin* \p di) 2 ] 



ds 2 = - —— + c 2 -dt 2 . . (8A) 



cosh 2 — 

 R 



h 



— dh 2 — sinh 2 - [dip 2 -\- sin* if> d& 2 ] + e* dt 2 



ds 2 = . . . (SB) 



h 



cosh 2 



R 



Het drie-dimensionale lijn-element 



h 



do 12 = dh 2 -f sinh* - [</i|< 2 + sin* if diP\ 



R 



