Wiskunde. — De Heer Brouwer biedt een mededeeling aan van den 

 Heer B. P. Haalmeyer : „Over elementair oppervlakken der 

 derde orde". (Tweede mededeeling). 



(Mede aangeboden door den Heer Hendrik de Vries). 



§ 4. Is A keerpunt in één en niet meer dan één vlak a, dan is 

 « raakvlak. 



Zij a keerpuntsraaklijn en K l en üf a de takken die in A samenkomen. 

 Binnen elke omgeving van A zijn de takken K 1 en K t verbonden 

 door een puntverzameling I en een andere II welke beide tot F i 

 behooren. I en II hebben weer geen punten gemeen en zijn de (1,1) 

 continue beelden van vlakke gebieden l x en II X welke Jordansch 

 karakter hebben in de buurt van het met A correspondeerende punt 

 A v Verder behooren binnen zekere eindige omgeving van A alle 

 punten van F" tot 1 -f II -4- K x -j- K 2 . 



TA] EF een rechtelijnsegment in « dat de takken K t en K^ snijdt. 

 Stel nu I en II lagen aan denzelfden kant van a. Laten we dan 

 van dien kant een evenwijdig lijnsegment tot EF convergeeren dan 

 zou dit ten slotte minstens twee punten gemeen krijgen met I en 

 eveneens twee met II: een ongerijmdheid. I en II liggen dus aan 

 verschillende kanten van «, bijv. I boven en II onder «. 



Zij fi een vlak door A dat de keerpuntsraaklijn a niet bevat. A 

 kan in [3 niet zijn keerpunt (/?=|=a) maar op grond van de § $ 1 

 en 3 kan A in $ ook niet zijn geïsoleerd punt of dubbelpunt. Res- 

 teeren dus de mogelijkheden dat A in £ is gewoon punt of buigpunt. 

 Op de snijlijn van « en /? telt punt A dubbel in « en moet volgens de 

 hulpstelling (pag. 74) dus ook dubbel tellen op die snijlijn in /?. Dit nu is 

 onmogelijk wanneer A in $ buigpunt is. Blijft dus over de mogelijk- 

 heid dat A in (i gewoon punt is en daar A dubbel telt in (i op de 

 snijlijn met a is die snijlijn dus raaklijn. 



Er is dus aangetoond dat in elk vlak dat de keerpuntsraaklijn 

 niet bevat A gewoon punt is met raaklijn in «. 



Blijft over te beschouwen een doorsnede van F* in een vlak 

 b(=\—a) door de keerpuntsraaklijn a. Zij b een lijn door A in /? (—\=a), 

 We beschouwen een fundamentaalreeks van vlakken ^ l ,^ i ,^ t . . . . 



