321 



gaande door b en con vergeerend e tot ( 3. De snijlijnen van u en 

 /?!,/?,,.... $ noemen we respectievelijk a l} a 2 . . . . a (alle gaande door A). 

 In elk der vlakken (i n wordt a in A aangeraakt (gewone raking). 

 Men toont gemakkelijk aan dat deze raking steeds van denzelfden 

 kant plaats grijpt. We hebben dit resultaat echter niet noodig en 

 denken ons maar een deelreeks waarbij de raking wel van den- 

 zelfden kant plaats vindt, laat ons zeggen van boven a. De keer- 

 puntsraaklijn a wordt door A in twee halflijnen verdeeld, zij a' de 

 halflijn die uit A vertrekt in dezelfde richting als de keerpuntstakken 

 en a" de andere. De correspondeerende halflijnen bij de naderende 

 lijnen noemen we a x ' , a^ .... respectievelijk a x ",a 2 " 



In elk der vlakken /?„ vertrekt uit A een tak boven a in de 

 richting van a„". Dezelfde redeneering toepassende, die gebruikt is 

 bij het onderzoek van de doorsnede in een vlak door een nadere 

 raaklijn van een dubbelpunt, blijkt dat in p de limiettak van A uit- 

 gaat boven « en in de richting van a". De lijn a heeft slechts het 

 punt A met F 3 gemeen, en aangezien A in /? niet kan zijn dubbel- 

 of keerpunt blijft slechts over de mogelijkheid dat A in p is buig- 

 punt met a tot raaklijn. 



a blijkt dus inderdaad raakvlak te zijn. 



§ 5. Is A keerpunt in twee verschillende vlakken, dan is A uit- 

 zondering spunt. 



In § 1 is bewezen dat wanneer A geïsoleerd is in een vlak «, dan 

 is a raakvlak of -A is uitzonderingspunt. In het eerste geval bleek 

 A gewoon punt te zijn in elk vlak behalve «. Wanneer we dus 

 weten dat er vlakken zijn waarin A keerpunt is en we willen aan- 

 toonen dat A uitzonderingspunt is, dan is het voldoende te bewijzen 

 dat er een vlak bestaat waarin A geïsoleerd is. 



A is keerpunt in twee verschillende vlakken. We onderscheiden 

 twee gevallen naarmate de keerpuntsraaklijnen al dan niet samen- 

 vallen. 



Eerste geval: A is keerpunt in de vlakken a en $ en de snijlijn 

 a dezer vlakken is de gemeenschappelijke keerpuntsraaklijn. Zij y 

 een vlak door A dat de lijn a niet bevat. Het punt A telt in <t 

 dubbel op de snijlijn van a en y, en volgens de hulpstelling (pag. 74) 

 telt A dus ook dubbel op deze snijlijn in y. Hetzelfde geldt voor de 

 snijlijn van |? en y. In y hebben we dus twee verschillende lijnen 

 waarop ^4 dubbel telt, dus in y is ^4 hetzij geïsoleerd-, hetzij dubbel-, 

 hetzij keerpunt. Wanneer A keerpunt is in y, dan is A dus keerpunt 

 in twee vlakken (« en y) zonder dat de raaklijnen samen vallen. Dit 

 wordt behandeld bij het tweede geval. 



