322 



Om dus aan te toonen dat A in y geisoleerd is resteert hier slechts 

 te bewijzen dat A niet kan zijn dubbelpnnt in y. 



Zij c een willekeurige lijn door A in y, verschillend van de snij- 

 lijnen met « en /?. Laten we y om c wentelen. Wanneer in eenigen 

 stand van y het punt A geïsoleerd is, dan is ons doel bereikt. Het 

 alternatief is dat A dubbelpunt is in alle vlakken door c behalve 

 het vlak door c en a. Op grond van de ontwikkelingen van $ 3 

 (pag. 70 en 71) blijkt dat de eenige manier om dadelijke contradictie te 

 voorkomen is, aan te nemen, dat A keerpunt is in het vlak door 

 c en a. Maar c was een willekeurige lijn in y (niet gelegen in u of 

 0) dus elk vlak door a zou een keerpunt in A moeten hebben en 

 de redeneering van pag. 65 toont dat A dan geisoleerd is in elk vlak 

 dat a niet bevat. 



Tweede geval: A is keerpunt in a en $ en de keerpuntsraaklijnen 

 vallen niet samen. De snijlijn a van « en /? is dus in geen dier beide 

 vlakken keerpuntsraaklijn, daar zij behalve A nog een punt met 

 F 1 gemeen heeft. Het in fig. 6 aangegeven geval omsluit dus alle 

 mogelijkheden. Laat BEF CD een vlak j. a zijn. De halfvlakken 



aE en aD bevatten geen punten van F* binnen zekere eindige 

 omgeving van A. Op pag. 61 is bewezen dat wanneer A in een 

 vlak a geisoleerd is, dat dan aan één kant van « een omgeving van 

 A bestaat die geen punten van F* bevat. Het bewijs berustte geheel 

 op de analysis situs, dus is het van geen belang of de halfvlakken 

 waarin « verdeeld wordt door een lijn door A, een hoek van 180° 

 met elkaar maken of eenigen anderen hoek (=]= nul). Dit toepassende 

 op het geval van fig. 6 blijkt dat een eindige omgeving van A bestaat 

 die geen punten van F z bevat in het deel der ruimte gelegen 

 tusschen de halfvlakken aE en aD en waarin de halfvlakken aF 

 en aC niet zijn gelegen (in de halfvlakken aF en aC komen takken 



