323 



in A dus in dezen hoek tusschen aEen aD is A zeker mW geisoleerd). 



Laat hal tv lak aE om a wentelen naar aF en aD naar aCzooals 

 de pijlen aangeven. Voor aE bestaat hetzij een laatste stand waarin 

 A wel, hetzij een eerste waarin A niet geisoleerd is. Zij deze aE x . 

 Eveneens aD x voor aD. Wanneer de hoek tusschen aE x en aD x 

 waarbinnen aF en aC liggen <^ 180° is dan kunnen dadelijk vlakken 

 worden aangegeven waarin A geisoleerd is. Resteeren dus te be- 

 schouwen de gevallen dat de hoek ^_ '180° is. 



In elk halfvlak door a, waarin A niet geïsoleerd is, komen zeker 

 twee takken in A samen, want indien slechts één tak naar A kwam, 

 dan zou de voortzetting van dien tak in het complementaire halfvlak 

 liggen en deze twee takken zouden binnen elke omgeving van A 

 samenhangen aan beide zijden van dat vlak, dus zouden er door a 

 in het geheel geen halfvlakken gaan waarin A geisoleerd is. 



Op grond hiervan zou, wanneer de hoek tusschen aE x en aD x ^> 180° 

 is, een eindige hoek bestaan waarbinnen alle vlakken door a een 

 dubbelpunt in A vertoonen. Zij y een vlak door a binnen dezen hoek. 

 Laten de halfvlakken door a, waarin A ondersteld is keerpunt te 

 zijn, beneden y liggen. Wordt y om a gedraaid, dan blijft A bij beide 

 draaiingsrichtingen aanvankelijk dubbelpunt. In y gaan van A uit 

 4 takken die we achtereenvolgens noemen AP, AQ, AR en AS. 

 Zij de lijn a gelegen tusschen iP en AS en dus ook tusschen AQ 

 en AR. Laat b een lijn zijn door A in y gelegen tusschen ^P en 

 AQ en dus ook tusschen AR en AS en zij fi een willekeurig vlak 

 door b. In fi arriveeren in A twee takken van boven y, want boven 

 y hangt AP met AQ en AR met AS samen. Het alternatief dat 

 boven y AP met AS en AQ met AR samenhangt is uitgesloten, daar 

 in de vlakken door a waarin A keerpunt is, de takken in A komen 

 van beneden y. 



De takken in /? welke van boven y in A samenkomen, kunnen 

 geen keerpunt in A vormen, want in dat geval zou A in hoogstens 

 één halfvlak door a geïsoleerd kunnen zijn. Evenmin kan A een 

 gewoon punt zijn op de genoemde takken in $ met b tot raak lijn. 

 Nemen we namelijk een oogenblik aan dat dit wel zoo is, dan kan 

 men het vlak y om a draaien tot den stand y' zóó dat de snijlijn 

 van y' en /■? drie verschillende punten gemeen heeft met de kromme 

 in fi. Mits echter de draaiing klein genoeg is, blijft .1 dubbelpunt in 

 y' en de snij lijn van y' en /i zou dus minstens vier punten gemeen 

 hebben met de kromme in y'\ een ongerijmdheid. 



In ,>' komen twee takken in A van boxen y, maar we sagen dat 

 A in fi niet geïsoleerd- of keerpunt kan zijn, dus is A dubbelpunt 

 in £. (■? is een willekeurig vlak door b. dus elk vlak door b vertoont 



2 2 



Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXVI. A". 1917 IS. 



