324 



een dnbbelpunt in A en de onmogelijkheid hiervan is aangetoond 

 op pag. 71. 



Resteert nu dus nog het geval te beschouwen dat de hoek tusschen 

 de halfvlakken aE x en aD x gelijk is aan 180°. In het voorgaande 

 bleek dat in elk halfvlak waarin A niet geïsoleerd is, twee takken 

 in A samenkomen, dus voor het vlak aE, en aD 1 bestaan a priori 

 vier mogelijkheden: 



1. A is dubbelpunt. 



2. A is gewoon punt met a tot raaklijn. 



3. A is keerpunt. 



4. A is geïsoleerd punt. 



Om het bestaansbewijs van een vlak waarin A geïsoleerd is, te 

 voltooien, laten we achtereenvolgens zien dat de onderstellingen d, 

 2 en 3 tot contradicties voeren. 



1. Zij y het vlak van a E l en a Z),. Hierin vertrekken vier 

 takken uit het dubbelpunt A: achtereenvolgens AP, AQ, AR en AS. 

 De lijn a ligt weer tusschen AS en AP en dus ook tusschen AQ 

 en AR. De halfvlakken a en fi waarin A keerpunt is, denken we 

 ons weer beneden y gelegen. In de complementaire halfvlakken is 

 A geïsoleerd, dus boven y hangt AP met AQ en AR met AS samen, 

 terwijl beneden y AS met ^P en AQ met AR is verbonden. Deze 

 laatste twee verbindingen gaan via de keerpuntstakken in a en j?. 

 Zij d een lijn door A in y tusschen de takken AP en AQ en dus 

 ook tusschen AR en AS, en zij d een willekeurig vlak door d. In 

 vlak d komen twee takken in A van boven •/. Deze takken raken 

 beide aan d, aangezien A geïsoleerd is in elk halfvlak door a boven y. 

 In d is A dus gewoon punt met d tot raaklijn en de raking heeft 

 plaats van boven, dus beneden y is het punt A geïsoleerd in vlak d. 

 Dit blijft zoo voor eiken stand van vlak d (door d), maar dan is het 

 onmogelijk dat de keerpuntstakken in « (of /i) binnen elke omgeving 

 van A samenhangen met de takken welke in y van A uitgaan. 



2. Zij y weer het vlak van a E x en a D x . Hierin is A gewoon 

 punt met a tot raaklijn. In een der beide halfvlakken waarin a het 

 vlak y verdeelt, is A dus geïsoleerd. De halfvlakken waarin A onder- 

 steld is keerpunt te zijn, denken we ons weer beneden y. Zij deen 

 lijn door A in y welke drie verschillende punten met F* gemeen 

 heeft en zij d een vlak door d (—\— y)- In elk halfvlak door a 

 boven y is A geïsoleerd en in elk halfvlak door a beneden y is A 

 niet geïsoleerd. Laten we dus halfvlakken door a van beneden con- 

 vergeeren tot het halfvlak van y waarin A geïsoleerd is, dan zullen 

 in die naderende halfvlakken ovalen welke door A gaan en aan a 



