325 



raken, ziel) tot het punt A samentrekken. Dit beteekent dat in vlak 

 ó het punt A minstens dubbel telt op d, maar d heeft nog twee andere 

 punten met F* gemeen en we verkrijgen dus een ongerijmdheid. 



3. A is keerpunt in y met b (=|= d) tot raak lijn. De oorspronkelijke 

 keerpuntshalfvlakken « en ft denken we ons weer beneden y. In 

 halfvlakken door a die van beneden eonvergeeren tot het halfvlak 

 van y, waarin A geïsoleerd is, liggen weer ovalen, die in A aan a 

 raken en zich tot A samentrekken. Zij c een lijn in y door A 

 {—\—a en —\—b). De samentrekkende ovalen maken dat c raaklijn 

 in A is in elk vlak (=|=.y). Verder is in al deze vlakken A gewoon 

 punt aangezien c nog een ander punt met F z gemeen heeft, c was 

 een willekeurige lijn door A in y (=|= a en =|= b) dus in elk vlak 

 door A (behalve die door a of b) raakt de kromme in A van 

 beneden aan de snij lijn met y. 



Beschouwen we nu een van de oorspronkelijke halfvlakken 

 met keerpunt in A bijvoorbeeld a. De redeneering van pag. 72 

 toepassende blijkt dat elke lijn door A in a (behalve a en de 

 keerpunlsraaklijn in «) raaklijn moet zijn in punt A in elk vlak 

 door die lijn (behalve a en het vlak door die lijn en b). Dit is 

 echter in strijd met het hierboven verkregen resultaat dat in elk vlak 

 door A (behalve die door a of b) A gewoon punt is met raaklijn in /. 



§ 6. Door A gaat minstens één vlak ivaarin A is, hetzij geïso- 

 leerd-, hetzij dubbel-, hetzij keerpunt. 



Stel A is gewoon punt in twee vlakke doorsneden zoodanig dat 

 de beide raaklijnen a en b in A niet samenvallen. In het voorgaande 

 is bewezen de hulpstelling dat wanneer A dubbel telt op een lijn 

 in een vlak, het dubbel telt op die lijn in elk vlak door die lijn. 

 Op grond hiervan zou A hier in het vlak door a en b dubbel tellen 

 op twee verschillende lijnen a en b en in dat vlak dus zijn geïso- 

 leerd-, dubbel-, of keerpunt.' Resteert dus te bewijzen dat door een 

 willekeurig punt A van F s zeker twee vlakke doorsneden gaan 

 met gewone punten in A en niet samenvallende raaklijnen. Behalve 

 geïsoleerde-, dubbel-, keer- en gewone punten zijn er nog slechts 

 buigpunten. We laten eerst zien dat niet alle doorsneden door .-1 

 buigpunten in A kunnen vertoonen. 



Door A brengen we een lijn a die nog een ander punt met F* 

 gemeen heeft en dus nooit buigpuntsraaklijn kan zijn. Stel elk vlak 

 door a snijdt F' volgens een kromme met buigpunt in .1. In elk 

 halfvlak door a gaat van A uit een convexboog die aanvankelijk 

 boven of beneden de raaklijn in A ligt (volgens onderstelde behoort 

 geen rechte door A geheel tot F 9 ). We komen nu tot een tegen- 



22* 



