326 



strijdigheid als we kunnen aantoonen dat geen halfvlak waarin de 

 convexboog eerst boven (onder) de raaklijn in A ligt, grensstand 

 kan zijn van halfvlakken met convexbogen aanvankelijk onder 

 (boven) de raaklijn. 



Stel de door a gaande halfvlakken a x , a t , a t . . . . naderen tot «. 

 Laten de correspondeerende halfraaklijnen zijn b x , b 2 , b z . . . . b. In 

 «j, a 2 , «,.... liggen de convexbogen aanvankelijk onder b lt b 3 . ., in << 

 echter boven b. De lijnen b x , b 2 ,b^ . . . . hebben zeker een limietstand 

 b' in a door A. Drie gevallen zijn mogelijk: b' kan liggen boven b, 

 onder b of' met b samenvallen. Geval 1 : Tusschen b en b' trekken 

 we door A een halflijn b" die de van A uitgaande convexboog in een 

 tweede punt B snijdt. We denken ons een vlak /?" door b" b.v. ± a. 



De vlakken a x , « 2 , « 8 . . . snijden ,3" respect. 



in b t ", b 2 ", b s " Uit b 1} b a . . . lichten we 



een fundamentaalreeks die b' tot eenig grens- 

 element heeft: b, n , b, H . . . . Bijbehoorende: 

 a, n ,« 1l2 .... en b", n , b" )t2 , b"„ t .... Begint men 

 de reeks ver genoeg dan liggen de half- 

 lijnen b, lx enz. boven b",,! enz. In elk der 

 naderende vlakken gaat dan van A een tak 

 uit tusschen b ni en b"„ x enz. Om nu te 

 zorgen dat in het limietvlak geen tak van 

 A uit gaat tusschen b' en b" is noodzakelijk dat de takken in de 

 naderende vlakken b", n enz. snijden in tot A naderende punten 

 (we herinneren er aan dat de lijnen b, n als buigpuntsraaklijnen 

 alleen A inet F 3 gemeen hebben). We zien dus dat b" in (i" raaklijn 

 in A is. Had deze doorsnede in ^" echter buigpunt in A dan zou 

 b" dus vier punten met F z gemeen hebben, n.l. 3 in A en 1 in B. 



Fis- 7. 



Geval 2 : De lijn a heeft beneden A misschien 1 of 2 punten met 

 F t gemeen. Zij C het dichtsbijzijnde. Zij b ni , b, l2 . . . weer reeks die 

 alleen tot b' nadert. In a ni , a„ 3 . . . . gaan krommen van A uit tus- 

 schen b ni en a naar beneden, die gaan of naar het oneindige of 

 naar C, of naar het verder gelegen snijpunt van a met F 3 . Bij de 

 limiet moet dan echter voor elke q zoodanig dat AC^>q^>o een 

 punt P van F 3 in a liggen, zoodanig, dat AP = q en welk punt P 

 gelegen is hetzij op b, hetzij op a hetzij in den benedenhoek tus- 

 schen b en a. We komen dus weer tot een tegenstrijdigheid. 



Geval 3 wordt geheel op dezelfde wijze behandeld als geval 2. 



We hebben dus aangetoond dat door A zeker een doorsnede gaat 

 waarvan A niet is buigpunl. Is A hiervan ook niet geïsoleerd-, dub- 



