327 



bel-, of keerpunt dan is A dus gewoon punt. Zij « het vlak dei- 

 doorsnede en a de raaklijn in A. De lijn a heeft nog een ander 

 punt C met F 3 gemeen. Wentelt « om a dan blijft A dubbel en 

 C enkel tellen. Dus aannemende dat A nooit geïsol.-, dubbel-, of 

 keerpunt is, moet A op elke vlakke doorsnede door a zijn gewoon 

 punt met a tot raaklijn. We laten « om a wentelen en letten op 

 beide halfvlakken waarin a het vlak « verdeelt. We zien dat minstens 

 eenmaal een halfvlak, waarin in zekere omgeving van A geen punten 

 van F 3 liggen, limiet is van halfvlakken waarin convexbogen gele- 

 gen zijn die in A aan a raken. Zij d deze stand en «,', «„', «,' . .'. 

 een fundamentaalreeks van naderende halfvlakken. 



Ten einde dat A in halfvlak d geïsoleerd is, is noodig dat de 

 krommen die in a' lh .«', .... aan a in A raken zijn krommen van 

 de tweede orde die zich uitsluitend tot A samentrekken (mits we 

 maar ver genoeg in de reeks van naderende vlakken beginnen). 

 Nemen we in het vlak van d de lijn b door A die nog twee andere 

 punten B en C met F 3 gemeen heeft. Zij /? het vlak door b ± a' 

 a' r , a\, tt' 8 . . . . snijden fi volgens b Y , 6 2 , b t . . . Elk der lijnen b t , 6 3 . . . 

 snijdt het bij het vlak behoorende ovaal in een tweede van A ver- 

 schillende punt, welke punten tot A naderen als we voortgaan in 

 de reeks. In vlak /? zou b dus raaklijn in A zijn maar dit is onmo- 

 gelijk daar b bovendien nog de punten B en C met F 3 gemeen heeft. 



De stelling van deze paragraaf is hiermede bewezen. 



Tweede deel. Zij A een gewoon punt van de doorsnede van F 3 

 met een vlak ie en zij a een gewone snijlijn door A in «. 



Stelling 1 : Convergeert een fundamentaalreeks van lijnen in R s tot 

 lijn a, dan zullen deze lijnen op den duur punten van F 3 dragen die 

 tot A convergeeren. ■ 



Bewijs: Laten AB en AC de takken zijn die in A in vlak n 

 samenkomen, en B' C' een lijnsegment dat zoowel boog AB als 

 boog AC snijdt. Uit de stelling van Jordan voor de ruimte volgt 

 dat er dubbele samenhang bestaat tusschen de takken AB en 

 AC door middel van twee puntveizamelingen I en II zonder 

 gemeenschappelijke punten. Lagen I en II aan dezelfde zijde van 

 « en laten we dan van die zijde evenwijdige lijnsegmenten tot B'C' 

 naderen, dan zouden deze op den duur twee punten met I en twee 

 met II gemeen krijgen, wat onmogelijk is. I en II liggen dus aan 

 verschillende zijden van it. In elke omgeving van A liggen dus 

 punten van F* zoowel boven als beneden (<. 



De omgeving van A op F' is liet (1,1) continue beeld van tic 



