328 



omgeving van een punt in een plat vlak. Hieruit volgt dat de 

 punten van R t binnen een zekere eindige omgeving van A, voor 

 zoovei- ze niet op F 3 liggen, behooren tot een van twee gebieden 

 G x en 6r 3 welke, althans binnen die eindige omgeving van A, niet 

 samenhangen. F 3 , de gemeenschappelijke grens van deze gebieden, 

 heeft Jordansch karakter. 



We toonden aan dat binnen elke omgeving van A punten van 

 F 3 voorkomen zoowel boven als beneden «. Zij A 1 , A 2 , A t . . . . een 

 fundarnentaalreeks van punten die van boven en A..', A 3 ', A t '. . . . die 

 van beneden tot A naderen. A l en A x ' zijn verbind baar door een 

 weg die geheel tot G } , en door een weg die geheel tot G 3 behoort. 

 Eveneens A 3 met A 2 ', A t met A s ' enz. Gaan we ver genoeg in deze 

 reeks dan volgt uit de Unbewalltheit dat deze wegen geheel liggen 

 binnen een willekeurig kleine omgeving van -4. Elk van deze 

 wegen verbindt echter een punt boven a met een punt beneden a en 

 het is dus onvermijdelijk, dat in vlak «, binnen elke omgeving van 

 A, zoowel punten van G x als van G 2 voorkomen. Hieruit volgt dat 

 in vlak a het gebied aan de eene zijde van den convexhoog BAC 

 behoort tot G l en dat aan de andere zijde tot G 3 . 



We kiezen op lijn a de punten D en E aan verschillende zijden 

 van A. D behoort tot G lt F tot 6r 3 . Om D bestaat dus een eindige 

 bol b x zoodanig dat de inwendige punten alle tot G lt en om F een 

 bol b 2 zoodanig dat alle inwendige punten tot G 3 behooren. 



Laat nu de fundarnentaalreeks van lijnen a lt a a , a s tot a con- 



vergeeren. Laten op deze lijnen respectievelijk de punten D 1} D 3 ,D 3 ... 

 tot D en E x -, E tt E t . . . . tot F convergeeren. D lf D 2 . . . . komen op 

 den duur binnen bol b l en behooren dan tot G x , E l ,E i .... komen 

 tenslotte binnen b 3 en behooren dan tot G,. Voor n grooter dan 

 zekere eindige waarde ligt dus op het eindige segment D n E H van 

 a„ minstens één punt van F 3 en deze punten kunnen alleen tot A 

 convergeeren, daar dit het eenige punt van F 3 is op het segment 

 DE van a x ). 



Stelling 1: Convergeeren de vlakken «,, « 3 , « ? . . . . tot « dan 

 bestaat de doorsnede van F 3 niet a uit de limietverzameling van 

 de doorsneden met a n plus misschien een geïsoleerd punt. 



Dat de doorsnede in a zeker bevat de geheele limiet verzameling 

 van de doorsneden in a n volgt uit het afgesloten zijn van F 3 . 



1 ) Het bewijs vaa stelling 1 gaat onveranderd door voor het geval dat A 

 gelegen mocht zijn op een rechte van F s , mits deze rechte niet in vlak * ligt. 

 Dit resultaat komt later te pas. 



