329 



Op grond van stelling 1 blijkt dat een gewoon punt in « zeker 

 grenspnnt is van de doorsneden in «„. Voor een buig punt 'm a wordt 

 dit op volkomen analoge wijze aangetoond. Het bewijs dat een 

 dubbel- of keerpunt in « grenspunt is van de doorsneden in «„ is 

 licht te voeren als we ons herinneren den samenhang van de uit 

 een dergelijk punt vertrekkende takken, welke in het eerste deel is 

 behandeld. 



Resteert dus een eventueel geisoleerd punt in «. Dat een dergelijk 

 punt geen grenspunt van de doorsneden in «„ behoeft te zijn, ziet 

 men gemakkelijk aan voorbeelden van cubisehe oppervlakken. 



Stelling 3 : Het raakvlak aan F 3 verandert continu met het raakpunt. 



Bewijs: Laten de punten A lf A 2 ,A 3 .... van F 3 naderen tot A. 

 Als «„ « 3 ,'« 3 • • « de eorrespondeerende raakvlakken zijn dan is dus 

 te bewijzen dat «^ « 2 , « 3 . . . tot « en niets anders dan a conver- 

 geeren. Stel a v «„.«,..... hadden een van « verschillend limietvlak 

 /?, dat natuurlijk in ieder geval door A gaat. Uit vroegere resultaten 

 volgt dat A in vlak <3 is hetzij gewoon punt, heizij buigpunt. In 

 elk geval is in fi dus een lijn a door A aan te wijzen welke drie 

 verschillende punten A, B en C mei F 1 gemeen heeft, Zij a 1 ,a 2 ,a 3 . . . 

 een fundamentaalreeks van lijnen respectievelijk gaande door A^A^A Z ... 

 en gelegen in «,, « s , a 3 . . . ., welke convergeeren tot de lijn a in het 

 limietvlak & (deze lijnen a„a,...".. kunnen op verschillende wijzen 

 door een eenvoudige afspraak worden vastgelegd). Uit stelling 1 

 volgt dat voor n ]> zekere eindige waarde de lijnen a punten B„ 

 en C n van F 3 dragen welke respectievelijk tot B en C convergee- 

 ren. Maar in elk vlak «„ telt A n als raakpunt dubbel op elke lijn. 

 dus zouden er lijnen te vinden zijn welke vier punten met F 3 gemeen 

 hebben, wat onmogelijk is. 



Stelling 4. Een elliptisch *) punt F 3 kan slechts grenspunt zijn 

 van elliptische punten. 



Bewijs: Lalen de punten A±, A al A i . . , .' van F 3 naderen tot A. 

 Bijbehoorende raakvlakken «^ <r 3 , « 3 . . . . a. Stel A was voor elke n 

 dubbelpunt of keerpunt in a„. Dan ging dus van A„ in ^r„ een tak 

 uit die tot het oneindige reikt, maar dan kon .1 in het limietvlak 

 onmogelijk geisoleerd zijn, aangezien een fundamentaalreeks van 



] ) Ter afkorting zullen we punten van F 3 welke in het raakvlak zijn geïsoleerd, 

 dubbelpunt of keerpunt respectievelijk noemen elliptische, hyperbolische en para- 

 bolische punten. Behalve deze soorten kan F s eventueel nog bevatten een uit/.on- 

 deringspunt waarvan het karakter vroeger is besproken. 



