330 



samenhangende verzamelingen elk met breedte grooter dan een 

 eindige waarde p niet tot een enkel punt kunnen convergeeren. 



Stelling 5 : Een hyperbolisch punt van F 3 kan slechts grenspunt 

 zijn van hyperbolische punten. 



Beivijs: A i} A 2 , A. è . . . naderen weer tot A. Bijbehoorende raak- 

 vlakken «,«,«,....■«. A is ondersteld hyperbolisch te zijn. We laten 

 zien dat de aanname dat A n voor elke n elliptisch of parabolisch 

 is tot tegenstrijdigheid voert. De punten der ruimte binnen een 

 zekere eindige omgeving van A welke niet op F 3 liggen, behooren 

 tot een van twee gebieden G x en G 3 , welke althans binnen die 

 omgeving van A, niet samenhangen. Uit de ontwikkelingen gegeven 

 bij het bewijs van stelling 1 volgt, dat, wanneer we rondgaan om 

 een hyperbolisch punt in het raakvlak, we beurtelings G x en G 3 

 doorkruisen en wel gaan we tweemaal door G x en tweemaal door 

 G 2 . Bij een parabolisch punt gaan we op dezelfde wijze eenmaal 

 door 6r, en eenmaal door G 2 , terwijl in het raakvlak van een 

 elliptisch punt een eindige omgeving van het raakpunt geheel tot 

 een der gebieden behoort b.v. tot G x . Een willekeurige lijn door 

 een elliptisch punt in het raakvlak behoort dus aanvankelijk aan 

 beide zijden van het raakpunt tot hetzelfde gebied. Bij een parabo- 

 lisch punt is dit eveneens het geval mits we de keerpuntsraaklijn 

 uitsluiten. 



Uit de reeks van naderende vlakken a\, a 2 , o 3 . . . lichten we een 

 deelreeks a ni , a„ 2 , «„, . . . zoodanig dat in elk van deze elke lijn door 

 het raakpunt A ni , A,, 2 , A ns . . . steeds naai- beide zijden vertrekt in 

 hetzelfde gebied b.v. G x . (Eventueele keerpuntsraaklijnen weer 

 uitgesloten). In het limietvlak a kiezen we twee punten B en C 

 behoorende tot G 2 en diametraal gelegen t.o.v. A. Laten b x en b 2 

 bollen zijn respectievelijk om B en C en zoodanig dat alle inwendige 

 punten tor G 3 behooren. Zij a de lijn door C, A en B. Laar 

 a ni , a„ 2 ■ . . zijn een fundamenlaalreeks van lijnen respectievelijk door 

 A nx , A„ t ... en gelegen in a, n , « ns . . . , welke tot a convergeeren en 

 welke geen van alle keerpuntsraaklijn zijn (deze convergeerende 

 lijnen kunnen weer door een eenvoudige afspraak worden vast- 

 gelegd). Op den duur zullen deze lijnen a, u , a„ 2 . . . door het binnen- 

 gebied der bollen b 1 en b 3 gaan, maar dan is de toestand zoo dat 

 een lijn die vanuit een dubbeltellend punt naar beide zijden in G x 

 vertrekt, verderop aan beide zijden weer punten van G t draagt. 

 Aan beide zijden zal F 3 dus weer opnieuw gesneden moeten worden 

 en we hebben dus lijnen geconstrueerd die minstens vier punten 

 met F 3 gemeen hebben, wat onmogelijk is, 



