331 



Stelling 6 : Verplaatst een hyperbolisch punt zich continu, dan 

 veranderen ook de naderende raaklijnen continu. 



Bewijs: Laten de hyperbolische punten A,,A 3 ,A S :.. naderen tot het 

 hyperbolische punt A. Correspondeerende raakvlakken <t x , « 2 , « 3 . . . a. 

 Een f undamen taaireeks van nadere raaklijnen door A 1 , A^, A 3 . . . in 

 de vlakken «,, « 2 . . . kunnen niet tot limiet hebben een lijn door 

 A in a die niet nadere raaklijn is. 



Een dergelijke limietlijn namelijk zou de kromme in a behalve in 

 A nog snijden in een van A verschillend gewoon punt en de, tot 

 die lijn convergeerende lijnen zouden dus volgens stelling 1 punten 

 van F 3 moeten dragen die tot dat tweede snijpunt naderen. Dit is 

 echter in strijd met de onderstelling dat de convergeerende lijnen 

 zijn nadere raaklijnen in punten die tot A convergeeren. 



Om stelling 6 aan te toonen is dus nog slechts te bewijzen dat 

 de nadere raaklijnen in a,,« 8 , « 8 ... niet alle kunnen convergeeren 

 tot slechts één der beide nadere raaklijnen in u. Laten a en b de 

 nadere raaklijnen in a zijn. We onderstellen dat de nadere raak- 

 lijnen in de convergeerende vlakken a lt « 2 . . . alleen a tot limiet 

 hebben. Voor stijgende n maken de nadere raaklijnen in a n een 

 hoek met elkaar die tot nul nadert. Het deel van a n binnen dezen 



* t 



r a 



7 f J> 



V 





Fie. 8. 



afnemenden hoek convergeert uitsluitend tot lijn a : en daar lijn a niel 

 geheel tot F 3 behoort, is het onvermijdelijk dat voor n grooter dan 

 zekere eindige waarde het deel van vlak a„ binnen den afnemenden 

 hoek het stuk der kromme bevat dal van de tweede orde is en 

 bovendien zal deze lus hei punt .1 tot eenige limiet hebben. (We 

 spieken steeds van de ,,lus" en teekenen deze eindig, maar hei kan 

 natuurlijk een projectief ovaal zijn dat door hel oneindige gaat). 



Behalve de lus gaan echter in de convergeerende vlakken van 

 A n uit twee lakken gelegen op het deel der kromme dat van de 



