332 



derde orde is. Nemen we aan dat aj,« s ,« 3 . . . een deelreeks a„ lt a nf . . . 

 bevat van vlakken waarin deze takken vertrekken in de richting 

 der halfraaklijnen die convergeeren tot de halflijn AB. Dit is geen 

 beperking daar we betreffende het verloop der kromme in het limiet- 

 vlak « beide mogelijkheden beschouwen die in fig. 8 zijn aangegeven. 



In « denken we ons een lijn c door A gelegen binnen hoek EAB. 

 Deze lijn heeft behalve A nog een gewoon punt R gemeen met de 

 kromme in «. 



Laten c, n , c« a . . . lijnen zijn respect, door A ni , A ll2 . . . en gelegen 

 in «„ 15 u„ 2 . . . welke lijnen tot. c convergeeren.- Laten hierbij de 

 punten P ni , P, l2 ... op deze lijnen naderen tot P. Verder zij a, n , a„, . . . 

 een reeks van nadere raaklijnen in «„,, a„ 3 ... en ten slotte onder- 

 stellen we dat de punten B ni , B n2 . . op deze lijnen naderen tot 

 B. (zie bij dit alles fig. 8). 



In «„, vertrekt een tak van A, n tusschen A ni B, n en A nx P ni , in 

 a„ 3 gaat een tak van A„ 3 uit tusschen A 7l2 B„ 2 en A„ 2 P„ 2 enz. 

 Deze takken kunnen de nadere raaklijnen A ni B ln enz. niet weer 

 snijden dus om te zorgen dat in « geen tak van A uitgaat tusschen 

 AB en AP is noodzakelijk dat de takken in de naderende vlakken 

 A„ P„ snijden in tot. A„ naderende punten. Volgens stelling 1 

 echter krijgen de lijnen c„ (waarvan A n P n een deel is) op den 

 duur punten gemeen met F 3 die tot R convergeeren en daar A„ 

 steeds dubbel telt zouden deze lijnen dus minstens vier punten 

 met F 1 gemeen hebben: een tegenstrijdigheid. 



De naderende raaklijnen verdeelen hun vlak in twee deelen die 

 respect, bevatten de lus der kromme en het stuk dat van de derde 

 orde is. 



Stelling 7 : Verplaatst een hyperbolisch -punt zich continu en varieert 

 dus ook zijn raakvlak met de daarin gelegen nadere raaklijnen 

 continu, dan gaan daarbij de deelen der raakvlakken die de stukken 

 der derde orde bevatten steeds in elkaar over en hetzelfde geldt 

 dan dus voor de deelen die de lussen bevatten. Bovendien kan de lus 

 niet 180° verspringen. 



Bewijs : A 13 A, . . . naderen tot A (alle hyperbolisch). Correspon- 

 deerende raakvlakken a lt a 2 . . . a. De nadere raaklijnen in a„ vormen 

 om A„ vier hoeken, achtereenvolgens l,„ II», III n en IV„. Deze 

 convergeeren respect, tot I,. II, III en IV in «. Stel nu dat voor 

 elke n in a n de hoofdtak (d. i. het deel der derde orde) ligt binnen 

 I„ en I1I„. Dit wil zeggen dat binnen die hoeken in a„ naar weers- 

 zijden takken uitgaan die via het oneindige samenhangen. Maar dan 

 gaat ook in het limietvlak a zoowel binnen I als III een tak uit 



