333 



en dit samenhangende deel van n bevat dus weer den hoofdtak. 

 Stel voor elke n verstrekt de lus in «„ binnen hoek II„. Om te 

 maken dat in « het punt A geïsoleerd is binnen II moeten deze 

 lussen uitsluitend tot A convergeeren. Op den duur kunnen zij dus 

 niet door het oneindige reiken en in « is A dus ook geïsoleerd 

 binnen hoek IV. Het ovaal kan dus niet 180° verspringen. 



Stelling 8 : Convergeert een fundamentaalreeks van hyperbolische 

 punten tot een parabolisch punt, dan convergeeren beide stellen 

 van nadere raa Mijnen der hypèvb. punten uitsluitend tot de keer- 

 puntsraaklijn van het parab. punt. Bovendien kan de richting 

 waarin de hoofdtakhen vertrekken niet 180° verspringen, (onder de 

 hoofdtakken verstaan we de takken die behooren tot het stuk der 

 derde orde). 



Beioijs: Laten de hyperb. punten A x , A 2 . . . naderen tot het parab. 

 punt A. Correspondeerende raakvlakken «,, «, . . . «. Een lijn door 

 A in a die niet keerpuntsraaklijn is, snijdt de kromme in « behalve 

 in A nog in een gewoon punt B. Volgens stelling 1 kan deze lijn 

 dus nooit limietstand zijn van nadere raaklijnen in punten die tot 

 A convergeeren. Het eerste deel van stelling 8 is hiermede aange- 

 toond. Op dezelfde wijze als bij het bewijs van stelling 6 wordt 

 weer aangetoond dat de lus in de naderende vlakken gelegen is 

 binnen den afnemenden hoek der nadere raaklijnen, en uitsluitend 

 tot A convergeert. 



Bij stelling 7 werd aangetoond dat de lus niet 180° kan ver- 

 springen en daaruit volgde dat de hoofdtakken evenmin discon- 

 tinu van richting kunnen veranderen. Hier echter is in het limiet- 

 vlak « de lus verdwenen en moet dus opnieuw worden aangetoond 

 dat de hoofdtakken niet kunnen verspringen. Zij AC de halve 

 keerpuntsraaklijn in « die vertrekt in de richting van de keer- 

 puntstakken en AB de andere. Stel dat in de naderende vlakken 

 de hoofdtakken vanuit A u vertrekken in de richting der halve nadere 

 raaklijnen die tot AB convergeeren, maar in « in de richting AC 

 Zij b een lijn door A in a (=|= BC). Zij ö,, 6 3 . . . een fundamen- 

 taalreeks van lijnen, convergeerende tot 6, respect gelegen in a,, et, .. . 

 en gaande door A x , A t . . . 



De twee hoofdtakken gaan in «„ van A„ uit naar weerszijden 

 binnen de toenemende hoeken der nadere raaklijnen. Deze takken 

 snijden de nadere raaklijnen niet weer maar gaan elk in hun eigen 

 hoek naar het oneindige. Bovendien vertrekken zij in richtingen 

 die tot AB naderen. Om nu te zorgen dal in « geen lakken 

 van. A uilgaan naar die zijde van b waar A />' ligt, is nood- 



