334 



zakelijk dat beide takken in «„ (voor n groot genoeg) de tot b 

 convergeerende lijnen b n aan weerszijden van A„ snijden in punten 

 die tot A convergeeren. Op elke lijn b n telt A n echter dubbel en 

 er zouden dus lijnen geconstrueerd zijn die vier punten van F s 

 dragen, wat onmogelijk is. y 



Stelling 9: Is A dubbelpuntin vlak a en vertrekt een punt van- 

 uit A langs een hoofdtak in a, dan zullen de lussen in de bijbe- 

 hoorende raakvlakken aanvankelijk liet vlak a snijden. 



Beioijs : Beschouwen we een fundamentaalreeks van punten op 

 boog CA (tig. 9) die tot A naderen. Mits we dicht genoeg bij A 

 beginnen, zijn al deze punten hyperbolisch volgens stelling 5. Onder- 

 stellen we nu dat de lussen vlak a niet snijden en nemen we een 



Fig. 9. 



deelreeks waarbij de lussen alle naar dezelfde zijde van a vertrekken, 

 b.v. naar boven. Laat deze puntreeks zijn A x A 3 A t . : . . Bijbehoorende 



raakvlakken geven we weer aan door a 1} « 2 , « 3 



De raaklijn aan AC in A n snijdt boog AB in B n . Voor stijgende n 

 nadert B n tot A. Vlak «„ bevat de lijn A n B,,. Laat A n D n de halve 

 nadere raaklijn in a n zijn die tot AD con vergeelt. Beschouwen we 

 nu in a„ het deel van het vlak binnen hoek Z>„ A,; B„. Geen hoofd- 

 lak in «„ kan op den duur binnen dezen hoek vertrekken want de 

 hoofdtakken gaan van A„ uit in richtingen die tot AE en AF con- 

 vergeeren. B n echter behoort tot een hoofdtak, daar aangenomen is 

 dat de lus het vlak a niet snijdt. Deze hoofdtak die lijn ^„^„in 

 B„ snijdt gaat binnen hoek B n A n D n niet naar A„ maar op de 

 beenen van dezen hoek is B„ het eenige punt van F 3 daar .4,, dubbel 

 telt op A„ B n en drievoudig op A„ D n - Het is dus onvermijdelijk dat 

 genoemde tak van B„ uit binnen hoek B„ A„ D n naar het oneindige 

 gaat. Overgaande tot de limiet convergeert hoek B n A„ Dn tot halflijn 

 AD en B n tot A. De halflijn AD zou dus geheel tot -F s behooren, 



