335 



wat tegen het onderstelde strijdt. Stelling 9 is hiermee bewezen. 

 Opmerking : 



Wanneer een punt vanuit A vertrekt langs den hoofdtak in «, dan 

 kan men de raaklijn van dat bewegende punt gesplitst denken in 

 een voorste en een achterste helft. Bij hel voorgaande bewijs is 

 gebleken dat. aanvankelijk de achterste helft door de lus wordt 

 gesneden. We kunnen dit kort uitdrukken door te zeggen, dat de 

 lus aanvankelijk achteraan sleept. 



Stelling 10: Om een parabolisch punt is in het raakvlak een eindige 

 omgeving aan ie wijzen, die 'slechts hyperbolische punten bevat~(be\mlve 

 natuurlijk het oorspronkelijke parab. punt zelf). 



Bewijs: Zij A parab. punt, a raakvlak en a keerpuntsraaklijn. 

 Laten de punten A 1} A 9 . . . op boog BA tot A convergeeren. Corres- 

 pondeerende raakvlakken er,, « 2 .... De doorsneden van « met «,, «, . . . 

 noemen we respect. a x , a 3 . . . . Deze doorsneden zijn raaklijnen in 



Fig. 10. 



vlak u en convergeeren tot lijn a. De snijpunten van de lijnen 

 d 1 , tt 2 . . . met boog AC noemen we respect. C x , C 2 .... Deze punten 

 naderen tot A. (Fig. 10). 



In de vlakken «„b, . . . vatten we in het oog de lijnen b l) b i .... respect, 

 door A l ,A i ... en loodrecht op <•?,, a s .... Deze lijnen b lt b 2 . . . con- 

 vergeeren tot b±a in <t. Stel nu alle punten A lt A a . . . waren 

 elliptisch of parabolisch. In geen geval kunnen de lijnen b n op den duur 

 keerpuntsraaklijnen in A„ in vlak <t n zijn, want al bleven de punten 

 A„ steeds parab. dan zouden toch de keerpuntsraaklijnen tot a 

 moeten convergeeren (dit volgt weer uit stelling 1) Voor // grooter 

 dan zekere eindige waarde hebben de lijnen b n dus behalve .1., nog 

 een enkel tellend punt met F' gemeen. 



Elke lijn />„ verdeelt het bij behoorende vlak a„ in twee hal f vlakken. 

 We vatten in het oog die halfvlakken welke ( ',, bevatten. Deze 

 halfvlakken convergeeren lol hel bovenste der beide halfvlakken 



