336 



waarin b het vlak « verdeelt. Als A n parab. is dan zullen voor h 

 groot genoeg de keerpuntstakken vertrekken in het halfvlak van a n 

 dat C n niet bevat, want het is niet mogelijk dat de takken die van 

 A n uitgaan bij den limiero vergang 180° verspringen (dit wordt op 

 zuiver analoge wijze bewezen als bij stelling 8 is geschied voor 

 hyperb. punten die tot een parab. punt convergeeren.) 



De toestand is dus zoo dat voor n groot genoeg in het halfvlak 

 van a„, dat C„ bevat, geen tak van A n uitgaat. C„ ligt echter op de 

 kromme in a n , en b n heeft behalve A„ een enkeltellend punt met 

 deze kromme gemeen. Maar A n is ellipt. of parab., dus de kromme 

 (A n eventueel uitgesloten) in a n is samenhangend. Hieruit volgt dat 

 C n in het bijbehoorende halfvlak van a n noodzakelijk met het on- 

 eindige moet samenhangen. 



Tot de limiet overgaande convergeert liet halfvlak van a n dat C„ 

 bevat tot het bovenste halfvlak van « (fig. 10) en C n convergeert 

 tot A. Maar dan zou in a van A een tak moeten uitgaan in het 

 bovenste halfvlak van a (lijn b meegerekend). We komen dus tot 

 een tegenstrijdigheid en er is dientengevolge aangetoond dat de 

 punten A X ,A^ ... op den duur zeker hyperb. worden. 



Stelling 11 : Een oppervlak F" dat geen rechte bevat, is niet be- 

 staanbaar. 



Bewijs: Jüel heeft aangetoond 1 ), dat een niet gedegenereerde 

 elementairkrom me der derde orde één en niet meer dan één buig- 

 punt bevat, wanneer de kromme een dubbelpunt of keerpunt vertoont, 

 en zoo dit. niet het geval is, dat de kromme dan drie en niet meer 

 dan drie buigpunten heeft. 



We nemen van F z een willekeurige doorsnede. Ais deze geen 

 geheele rechte bevat dan heeft ze dus zeker een buigpunt. Dit buig- 

 punt kan zijn hyperbolisch of parabolisch. In geval het parabolisch 

 is, kunnen we op grond van stelling 10 punten in het bijbehoorende 

 raakvlak aanwijzen die hyperbolisch zijn. In elk geval kunnen we 

 dus een hyperb. punt van F s vinden. Zij dit A en « het bijbehoo- 

 rende raakvlak. De lus in « laten we buiten beschouwing en houden 

 ons slechts bezig met den hoofdtak. Deze vertoont volgens Jüel één 

 en niet meer dan één buigpunt B. We laten twee punten A' en A", 

 vanuit A in tegengestelde richting langs den hoofdtak vertrekken 

 en continu langs de kromme loopende, elkaar in het buigpunt B 

 weer ontmoeten. Uit stelling 9 volgt dat de lussen van A' en A", 

 aanvankelijk a snijden en verder bleek dat ze aanvankelijk achter- 

 aan sleepen. In dezen toestand nu kan geenerlei verandering komen 



J ) Deensche Acad. loc. cit. § 5. 



