394 



het deel S tusschen twee doorsneden 2 en 2', welke doorsneden 

 beantwoorden aan bepaalde waarden van den tijd ,v i . Om de gedach- 

 ten te bepalen nemen wij aan dat dx t alleen van x 4 maar niet van 

 x l ,x a ,x t afhangt, terwijl dw lt dx 2 , dx s doorloopende functiën van 

 x 1} x t ,x 3 ,x 4 zijn. Aan -2 1 en 2' zullen alle variaties verdwijnen, 

 maar niet aan het oppervlak G; hier kunnen zij zelfs tot een ver- 

 plaatsing van dit laatste naar binnen of naar buiten aanleiding geven. 



§ 3. Wij verstaan nu onder dL de variatie van L in een vast 

 punt der veld figuur en vatten den eersten term in (5) zoo op, dat 



voor en na de variatie I LdS moet genomen worden over het gebied 



tusschen 2 en 2', dat telkens door de wereldlijnen wordt ingeno- 

 men. Gaan wij dan te werk alsof as lt x 3 , x s , x 4 rechthoekige coördi- 

 naten zijn, en verstaan wij onder q 1 , . . . q 4 de richtingsconstanten 

 van de aan o naar buiten getrokken normaal, dan is 



d (l dS = Cd L dS + JLS(a) q a dx a da 



(6) 



Wij hebben nu (verg. C, § 5), als wij 



f-ab = u>b dx a — w a dxh 



stellen, 



dL 

 of wel 



dL = 



dw a 



<f 



2 {ab) 



P 



ö 



diCb 

 dP: 



dP=2(ab)-— t 



S(ab)^g>' 



_^_\^ab 

 V—g) dx b 



dxo 



V <1 



-p^w 



+ -2 1 (ab) (wb dx a — w a dxb) 



{Wb dx a — W a dXb ) 



p 



+ 



P \V 



9 JA 



(?) 



De eerste term hiervan geeft bij substitutie in (6) een integraal 

 over het oppervlak o. Verwisselen wij verder in de termen met 

 w a dxb de indices a en b, en nemen wij in aanmerking dat aan 

 het oppervlak 2 (b) qb wb = is x ), terwijl blijkens (3) -2" (6) Ub ioi> 

 door P 2 kan worden vervangen, dan vinden wij ten slotte uit (5) 



l ) Uit de omstandigheid dat de wereldlijnen der punten van het oppervlak in de 

 uitgebreidheid o liggen, volgt 2 (b) q b V(, =0, en dus wegens (1) 2{b) q b w b =0. 



