465 



ipjjifjgjifjj, van de kegelsnede K, en daar elk der coördinaten is 

 een kwadratische vorm in x, zb.\ deze veranderlijke eene parameter- 

 voorstelling' van de kromme verschaffen. Van hetzelfde gezichts- 

 punt is een homogene veelterm F {xp^^p^} eenerzijds een binaire 

 vorm in x, aan den anderen kant stelt hij ook voor eene 

 kromme in het vlak der kegelsnede K. Een willekeurige tweede- 

 machtsvorm bijv. kan altijd gebracht worden in den vorm 

 h x if?j -f" A 2 xp 2 -\- A 8 if> 8 en stelt daarom voor eene rechte lijn, die de 

 kegelsnede K snijdt in twee punten, in welke de parameter .«gelijk 

 is aan een der beide wortels van den kwadratisch en vorm 

 ^1 V'i ~\~ K x \\ ~\~ h s ty s , In het bijzonder zullen de kwadratische vormen 

 § ]} | 2 , £ 8 , daar zij volledige kwadraten zijn, voorstellen raaklijnen 

 £,, £ 2 , § 3 , van K met de raakpunten, zeg A l} A 2 ,A 3 . Op deze wijze 

 komt ieder element van de involutie J overeen met eene kegelsnede 

 en de involutie J zelve bepaalt een net S van dergelijke kegel- 

 sneden. Blijkbaar moet het aldus geconstrueerde nel S bevatten : 

 de kegelsnede K, de drie lijnenparen g 1 jp 1 ., § 2 if> 2 , £ 8 if> 8 en ten slotte 

 de dubbele lijn T. Daar S eene dubbele lijn bevat, is het net S 

 niet geheel algemeen. De bijbehoorende kromme van Hesse valt 

 uiteen en bestaat uit de lijn T en uit eene kegelsnede H. De kromme 

 van Hesse gaat door ieder raakpunt van twee kegelsneden van het 

 net, derhalve gaat H door de punten A 1 ,A 2 ,A S en snijdt K in een 

 vierde punt A 4 . De raaklijnen aan K in de punten A ï ,A a ,A s , d.i. 

 de rechte lijnen §,,§„, § 8 , en ook de raaklijn § 4 i n het punt A i 

 snijden de kegelsnede H opnieuw in volgorde in de punten 

 B 13 B t , B a , B4. Deze punten, gelegen op de kromme van Hesse, zijn 

 middelpunten van ontaarde kegelsneden §{tp l} § s Jp s ,B 3 ^ 3 en van eene 

 vierde ontaarde kegelsnede £ 4 tf> 4 , en aldus is er bewezen, dat de 

 involutie J, behalve de drie elementen g^, g^, £ 8 tf; 8 elk met .een 

 dubbelen wortel, noodzakelijk nog een vierde element ? 4 ip 4 moet 

 bevatten, dat dezelfde bijzonderheid vertoont. In zekeren zin is de 

 raaklijn 'è A , opgevat als een kwadratische vorm in x, rechtstreeks 

 van beteekenis voor de herleidbare integraal. Laat gevraagd worden 

 naar de punten, waar de kegelsnede K geraakt wordt door eenige 

 kegelsnede van het net. Wanneer R 1 en R 2 twee willekeurige 

 elementen van S zijn, zal het net zelf tot vergelijking hebben 



K, + X1L + f«A' = 0. 

 Ten einde nu de waarden van x te vinden in de raakpunten, 

 moeten Zü, en R a weder opgevat worden als binaire vierdemachts- 

 vormen en de gevraagde parameterwaarden zijn de wortels van den 

 zesdemachtsvorm 



31* 



