Wiskunde. — De Heer J. O. Kluyver biedt eene mededeeling aan 

 van den Heer J. G. van der Corpüt over: ,,De primitieve 

 deeler van x k — 1." 



(Mede aangeboden door den Heer W. Kapteyn) 



Hier volgt een uitbreiding van het artikel van Professor Dr. J. 

 C. Klüyvkr met den titel: ,,De primitieve deeler van x m — 1". (Ver- 

 slagen K. A. v. W. deel XIX, blz. 785). 



Zij k een willekeurig geheel getal en h = y -(Je) het aantal positieve 

 getallen d'fk, die geen factor met k gemeen hebben. Het doel 

 van dit opstel is vooreerst den vorm 



2tt in . 



F k {x)=n{x-e~^)=z 2 A,x' ..... (1) 



die de primitieve deeler van x k — 1 genoemd wordt, in een andere 

 gedaante te brengen. Hierbij neem ik als bekend aan dat er een 

 aantal rekenkundige functies / y (n, k) van het veranderlijke geheele 

 •getal /?. zijn, die de getallenkarakters van n modulo k genoemd 

 worden ; daarin stelt v een willekeurig geheel getal ondeel- 

 baar ten opzichte van k voor en wel zoodanig, dat de functies 

 Xvi (n, k) en y. Vt (n,k) identiek dan wel verschillend zijn, al naar gelang 

 v, en i'j al dan niet onderling congruent, modulo k zijn. Hieruit 

 blijkt dat er h = <p (k) verschillende functies zijn. Deze functies 

 bezitten de volgende eigenschappen, als v een getal voorstelt, dat 

 geen factor met k gemeen heeft. 



I. Voor geheele waarden van n en n' is 



/„ (n,.k) X v («', k) = Xv (nn', k). 



II. Voor n^n' (mod. k) is 



Xv (n, k) = Xv (»', k). 



III. Als n een factor met k gemeen heeft, dan is 



Xv (n, k) = 0. 



IV. Indien n geen factor met k gemeen heeft, dan is de modulus 

 van Xv('*i^) gelijk aan J, dan is X t (n, k) gelijk aan I en /_i (n, k) 



gelijk aan het symbool j — j van Legendre. 



V. Xv (M)=l. 



k 



VI. 2 Xv (n,^) = 0, als v | 1. {mod.k) 



