662 



VII. Als k gesplitst wordt in twee onderling ondeelbare comple- 

 mentaire deelers k l en k % , dan is 



Xv («, ^ ; )Xv (n,k 2 ) = /, (w, &). 



Omdat iedere functie van n, die niet identiek gelijk aan nul is 

 en aan de eerste drie voorwaarden voldoet, een getallen- 

 karakter van n modulo k is, is dit ook het geval met de aan 

 1-j(n,k) toegevoegde functie ^ v {n,k) en nu wil ik met behulp van 

 het voorgaande de functie a v {n,k) bepalen, die gedefinieerd wordt 

 door de betrekking 



, 2~ imn , 2n im 



2 Xv (m, k) e k = a., (n, k) 2 X* (m, k) e k . 



m = 1 m = 1 



Uit deze definitie blijkt vooreerst, dat a„ (n, k) en « Vj (n, k) identiek 

 zijn, als r, en v, onderling congruent, modulo k zijn. Verder geldt 

 de volgende 



Hulpstelling. Als k gesplitst wordt in twee onderling ondeelbare 

 complementaire deelers k^ en k 2 , dan is 



a., (n, kj a-j (n, k 2 ) = a v (n, k). 

 Bewijs. Als in de betrekking 



7. 2nïmn .. 2nimn ,, ;. 2Tti(mik^\-m 3 k{)n 



m=l m=l ??i!=l »i. 2 =l 



gesteld wordt 



?7i,& 2 -f- wïjij = m (rnod. k) 



k^m^l, 



dan doorloopt m alle positieve waarden ^ & en volgens eigen- 

 schap VII, II en I is 



Xv (™> &) = Xv (»», *,) Xv (™, & a ) 



= Xv K^, *,) Xv (mA» &*) 



= Xv {K, K) Xv (*„ &,) Xv (»*„ K) Xv (m„ *,) , 



waarbij de eerste twee factoren uit het tweede lid niet gelijk aan 

 nul zijn, omdat k x en k 2 onderling ondeelbaar zijn. Derhalve 



; 2nimn j 2nimn , 2mmti 

 — A-i /eg te 



Xv {K, kj Xv (* If K) 2 Xv (m, k,) e h 2 Xv (m, k 2 ) e h = 2 Xv (i», A) e * 



»>=1 wi=l m=l 



en deze betrekking gaat voor n = 1 over in 



7. 2~hn , 2nim , 2nim 



Xv (* f i *J Xv (*n *,) ^ Xv (m, *,) e *i ^ Xv (w, *,) e ^ = .2 Xv (m, *) « * . 



w=l m=l m=l 



Door deze twee betrekkingen op elkander te deelen vindt men 

 a, (n, & ( ) Oy («, &,) = o v («, k) . 



