663 



Deze hulpstelling- Jevert ons het bewijs van de volgende 

 Stelling. Als k het product van een aantal ongelijke ondeelbare 

 factoren en D den G. G. D. van v — l,nenk voorstelt, dan is 



( k ' 

 a., (n, k) = n (D) tp (D) /, n, 



Bewijs. Wij toonen deze stelling eerst voor ondeelbare waarden 

 van k aan en onderscheiden daarbij drie verschillende gevallen. 

 l u . Stel v — 1 en n door k deelbaar, dus 



D =]k , 



k 



fi (D) cp (J9) Xv ^n, -J = - (k - 1) Xl (ft, 1) 

 = -(*--l), 



k inwin k _ l 



2 %?(>», k) e * = -2 1 



»i=l m=l 



= jfe — 1 



& 









2nim 





fc-i ! 



'.mm 



^ 



Xv 



(m, 



k) 



e k 





^ e 



~k 



m=l 











— 



- 1, 





en 



derhalve 



a v (n, k) = — (& — 1) 



= fi (Z>) 93 (Z>) Xv f n, - 



2°. Zij rc wèl en r — 1 niét door & deelbaar; dan is 



D = l, 



^ Xv (m, k) e k =2 Xv (w, &) 

 m=l m=l 



= 0, 



zoodat nu beide leden van de te bewijzen betrekking gelijk aan 

 nul zijn. 



3 n . Stel n is niet door k deelbaar, zoodat wij 



nn' == 1 (mod. />•) 



w/i = m' (mod. k) 



k ^ m' > 1 



kunnen stellen; in dat geval zijn Xv (ra> k) en /„ (n, k) twee toege- 

 voegde functies met modulus gelijk aan 1, waaruil volgt 



Xv («, &) Xv (**■*) = I • 



Verder is 



Xv (w, k) Xv (n\ /•) = /v (nn\ k) = x* (1, X') = 1 



