664 



en 



n'm' = n'nm = m (mod. k) 



waaruit volgt 



Xv (», k) x> (in 1 , k) = Xv («, *) X> («i *) "/» (n- k) x» (»»', £) 



= Xv («W, &) 



= Xv (w.A) . 

 Aldus vinden wij 



i. 2mmn , Siriin' 



■2 Xv ( m > *) « /c ' = Xv («> &) 2 Xv ( TO 'i *) « fc » 



d.w.z. 



/ k 

 a, («, £) = X v (», *) ==z[t{D)<f (D) Xv I n, - 



omdat D in dit geval gelijk aan 1 is. 



'Nu de stelling voor ondeelbare waarden van k aangetoond is, 

 is ze op de volgende manier te bewijzen voor het geval k het 

 product is van een aantal ongelijke ondeelbare factoren. Uitgaande 

 van de onderstelling, dat de betrekking voor de onderling ondeelbare 

 waarden k 1 en k 3 bewezen is, zullen wij haar voor k = k } k 3 aan- 

 toonen. Het is duidelijk, dat de stelling dan achtereenvolgens be- 

 wezen is voor het geval, dat /• uit twee, drie, vier, enz. ondeelbare 

 factoren bestaat. 

 Zij dus gegeven 



u v (n, \) = [i (D,) q (£>,) X v f n, j~ J, 



a, (n, k 3 ) = n (£>,) (f (D 2 ) Xv f n, -± 



waarin D l den G. G. D. van v — 1, n en k t voorstelt en Z>, den 

 G. G. D. van v — 1, n en k ü . Gemakkelijk ziet men in, dat D, en 

 Z) 3 onderling ondeelbare getallen zijn, wier product gelijk is aan 

 den G. G. D. D van v — 1, n en k, zoodat 



t i(D 1 ) l i(D,) = l i(D), 



<p(D,)<p{D t ) = <p{D) 



en 



k,\ f k.\ f k~ 



** n 'T t )*\ n 'D:) = *\ n '~ö 



is en wij komen tot het besluit 



a-j (n, k) = a v (n, &,) a-, (n, k 3 ) 



k 



w.t. b.w. 



= ^(D)y(Z>)Xv(n, j[ 



