665 



Deze stelling stelt ons in staat een betrekking at' te leiden, waaraan 

 de coëfficiënten Ay moeten voldoen, die volgens (1) in den primi- 

 tieven deeler van ;c k — 1 voorkomen. Daarbij kunnen wij, zonder 

 aan de algemeenheid van onze uitkomsten afbreuk te doen, & gelijk 

 stellen aan het product van een aantal ongelijke ondeelbare factoren, 

 want als k ontbonden in ondeelbare factoren van den vorm 



is en k stelt het product p ï p 2 . . . p x voor, dan is 



k 

 F k (w) = F ko (xh). 

 Stelling. Als k het product van een aantal ongelijke ondeelbare 

 factoren is en D„ + , den G. G.D. van v — 1, n -f- / en k voorstelt, 

 dan is voor alle geheele waarden van n 



2 Ai n (JJ n+/ ) ,, (D n+} ) X v ( n f k, — -) = 0. . . . (2) 



Bewijs. Voor alle waarden van r?2 en n is 



8m'/wi i 'ÏTtiini 



/v (ra, A-) é- fc .S .4; e & =0 



want als m een factor met & gemeen heeft, dan is Xv (m, A) = 

 en als m ondeelbaar ten opzichte van k is, dan is e k een pri- 

 mitieve wortel van de vergelijking o?*— 1 == 0, d.w.z. een wortel 

 van de vergelijking 



2 Ai x' — 0, 



;.=o 



zoodat dan de laatste factor gelijk aan nul is. Derhalve 



, 2-ximn , 2nii<n 



= i: Xv (m, k) e~k~ 2 Ai e~~k~ 

 m=l / =0 



= 2 Ai ^ Xv ( m ' ^ ! ) e fc 

 en volgens de voorgaande stelling is voor de, laatste som te schrijven 



/ k \ k _ 



ft (/}„+;) <f (2?,.+i) Xv [n + X, —— ) 2 Xv (m, k) e k , 



waaruit volgt 



o = J^ a, n (j) n+ i) q (z^m) X v f» f ;., ^-—J j 



-Trim 



De laatste factor is niet gelijk aan nul, want dan zou de som 



