Wiskunde. — De Heer Brouwkr biedt een mededeel ing aan van 

 den Heer B. P. Haalmkyer: „Over elementairoppervlqkken 

 der derde orde". (Derde mededeeling). 



(Mede aangeboden door den Heer Hendrik de Vries). 



Er is bewezen dat F 3 niet kan bestaan wanneer dat oppervlak 

 geen enkele rechte bevat. We gaan nu aantoonen dat wanneer F 3 

 een rechte bevat, dit oppervlak toch niet bestaanbaar is wanneer er 

 geen enkel vlak door die rechte gaat, dat F 3 volgens drie rechten snijdt. 



We gaan dus uit van een rechte a op F 3 en nemen aan dat in geen 

 enkel vlak door a de restkromme uit twee rechten bestaat. Het zal blijken 

 dat we op deze wijze onvermijdelijk tot een tegenstijdigheid komen. 



Stelling I : Elk punt van a heeft een raakvlak. 



We beschouwen een willekeurig punt A van a en een vlak fi 

 door A dat a niet bevat. In /? is A zeker niet geïsoleerd daar binnen 

 elke omgeving van A punten van F 3 voorkomen aan beide zijden 

 van fi. In $ gaat dus een kromme door A. We kiezen een punt- 

 reeks A 1: A. t . . . welke op die kromme van één zijde tot A 

 convergeert. Laten «,,«,... de vlakken zijn door a en respect. 

 A„ A 2 . . . en zij a hun limietvlak (a is klaarblijkelijk het vlak door a en 

 de raaklijn in A aan de kromme in f?). In elk der vlakken « 1; « 3 .. . 

 ligt een kromme der tweede orde respect, gaande door A x , A, . . . 

 Er zijn nu drie gevallen te onderscheiden: 



1. De krommen der tweede orde trekken zich tot a of een deel 

 van a samen. 



2. De doorsnede in het limietvlak a bestaat behalve uil a uil 

 een ovaal dat a in A snijdt. 



3. De doorsnede in het limietvlak « bestaat behalve uit a uit een 

 ovaal dat a in A raakt. 



V. De krommen der tweede orde trekken zich lot a of een deel 

 van a samen. Dit deel van a bevat natuurlijk in elk geval het punt 

 A. Elk der krommen van de tweede orde verdeelt het bijbehoorende 

 vlak ((„ in twee gebieden l ). We noemen ótYmengebied liet gebied 

 dat zich uitsluitend tot a of een deel van o contraheer!. 



Bleef A nu op den duur tot de buitengebieden behooren dan eou 

 de kromme in vlak /i een snavelkeerpunt in .1 vertoonen, wal bui- 



l ) A„ kan niet geïsoleerd zijn in «„ daar de boog in 8 hel vlak *„ snijdt Ook 

 kan de restkromme in u„ niet uit een dubbellellende rechte bestaan, aangexien 



volgens hel onderstelde geen tweede rechte van /•' ; de lijn a snijdt. 



