758 



« raakvlak, alles in de onderstelling dat door ^4 geen rechte van 

 F 3 gaat. Hier echter is een der dubbelpuntstakken een rechte, maar 

 wel is ondersteld dat er geen verdere rechten van F* door A gaan 

 (en zelfs niet door a. de rechte door A). In geen enkel vlak door 

 A, behalve die door genoemde rechte, kunnen we dus ooit een 

 rechte van F' ontmoeten en het bewijs van § 3 kan zonder meer 

 worden overgenomen. Ook de resultaten voor vlakken door nadere 

 raaklijnen blijven hier van kracht voor de vlakken gaande door de 

 raaklijn in A aan het ovaal in «. Wat betreft echter de doorsneden 

 in vlakken door de rechte in « (die correspondeer! met de tweede 

 nadere raaklijn) zegt het bewijs ons niets. Deze worden later be- 

 schouwd. Ook het begin van § 3. waar de samenhang der takken 

 wordt vastgesteld, moet eenigszins afwijkend worden behandeld, wat 

 reeds hierboven is geschied. 



Ten einde de resultaten van vroeger hierover te kunnen nemen 

 moet nog worden aangetoond: Gaat door A een rechte a van F*, 

 welke rechte niet door een tweede wordt gesneden, dan is het onmogelijk 

 dat A keerpunt is in meer dan één vlak (het correspondeerende 

 onderzoek uit het voorgaande moet sterk gewijzigd worden en we 

 geven het daarom opnieuw). 



A ligt op de rechte a van F' en verder is A keerpunt in een 

 vlak (? dat natuurlijk a niet bevat. Zij a een willekeurig' vlak door 

 a dat niet bevat de keerpuntsraaklijn in $ en zij b de snijlijn van 

 u en ,1 Op /; ligt behalve A nog slechts één punt B van F 3 . In 

 vlak o kan B niet zijn geïsoleerd, daar de kromme in (3 het vlak 

 « snijdt. De restkromme in « (d. w. z. de kromme minus a) kan 

 echter volgens het onderstelde ook niet uit twee rechten bestaan en 

 er blijft dus slechts over dat die restkromme een ovaal is door B. 

 Dit ovaal gaat ook door ^4 daar de lijn b slechts de punten A en 

 H met F : ' gemeen heeft (dat het ovaal niet in B aan b kan raken 

 blijkt uit dezelfde redeneering volgens welke fig. Ji een onmogelijk- 

 heid aangeeft 1 )). 



In elk vlak door a, dal niet bevat de keerpunlsraaklijn in jï, is de 

 restkromme dus een ovaal door A, Uit een beschouwing van den 

 limietovergang blijkt dat in het vlak door a en de genoemde keer- 

 puntsraaklijn de doorsnede bestaat hetzij int a alleen, hetzij uit a 

 en een ovaal door A. 



Een verder resultaat is dat een willekeurige lijn dooi' A (=4= a) 

 hoogstens één van A verschillend pun! met F* gemeen heeft. Maar 



!) Het is hier niet geoorloofd de hoofdstelling van het einde der eerste mede- 

 deling toe te passen, daar deze is bewezen voor punten welke niet op een rechte 

 van F 3 liggen, en het niet is uitgesloten dat B op zulk een rechte ligt. 



