759 



A kan in geen vlak geïsoleerd zijn (doordat a punten levert aan 

 beide zijden van elk vlak dat niet a bevat, binnen elke omgeving- 

 van .4), dus in elk vlak dat a niet bevat is A hetzij keerpunt, heizij 

 dubbelpunt. Wat betreft de vlakken door a bleek dat deze alle 

 dubbelpunt vertoonen behalve eventueel dat door a en de keerpunts- 

 raaklijn in /.? waarin dan a de geheele doorsnede zou vormen. 



Tot nog toe gebruikten we slechts dat A keerpunt is in één 

 vlak ft. Zij nu A keerpunt in twee vlakken {3 en y. We onder- 

 scheiden twee gevallen naarmate slechts één lijn als keerpuntsraaklijn 

 in A op kan treden of meer dan één. 



Eerste geval. A ligt op de rechte a van F 3 . Zij h de eenige lijn 

 door A die keerpuntsraaklijn kan zijn en zij a het vlak door a en 

 b. Op grond van het voorgaande zijn ei- nu twee mogelijkheden : 



I. De doorsnede in « bestaat uit a en een ovaal door A. 



II. De doorsnede in u bestaat uitsluitend uit a. 



I. Neem door A in a een lijn e die niet raaklijn is aan het 

 ovaal, en niet met a of b samenvalt, b is de eenige lijn die keer- 

 puntsraaklijn kan zijn dus in elk vlak door c (=|= «) is A dubbelpunt, 

 maar in a is A ook dubbelpunt. dus zou A dubbelpunt zijn in elk 

 vlak door c, terwijl c in geen dezer vlakken nadere raaklijn is 

 (daar c behalve .4 nog een punt van F 3 draagt). Dat dit onmogelijk 

 is, blijkt op dezelfde wijze als in § 3 der eerste mededeeling. Het 

 feit dat hier één doorsnede voorkomt met rechte maakt geen verschil 

 daar het bewijs uitsluitend berust op samenhang van takken in 

 verband met den eisch dat F* een tweedimensionaal continuüm is. 



II. Zij c weer een lijn door A in « die niet met a of b samen- 

 valt. In elk vlak door c (—\= et) is A gewoon dubbelpunt, terwijl in 

 a zelf de doorsnede slechts uit a bestaat. Nemen we een willekeurig 

 vlak 6 door c (=|= «). De lijn c is hierin nadere raaklijn. Nu gaal 

 vanuit A in rl naar beide zijden van c minstens één tak naar hei 

 oneindige (aan één zijde kunnen er wel drie zijn, wanneer de lus 

 naar het oneindige gaat, maar in elk geval is er naar beide zijden 

 minstens één). Laten we <\ om <■ wentelen. De doorsnede in een 

 limietvlak is de grensverzameling der doorsneden in de naderende 



Vlakken (geïsoleerde punten kunnen niet voorkomen). Verder heefl 

 een fundamentaalreeks van oneindige lakken een eveneens oneindige 

 tak tot grensverzameling. We eoncludeeren hieruit : In elk vlak 

 door c (=|= (t) kunnen we aan beide zijden van c een oneindigen tak 

 kiezen, welke takken bij de wenteling van d continu in elkaar 

 overgaan. Voegen we hieraan toe de lijn a in << dan krijgt F' in 

 hierdoor reeds hel karakter van iw eediiuensio- 



