760 



naai continuüm en de buiten beschouwing gelaten takken die van 

 A uitgaan zijn niet meer te plaatsen. We komen dus in strijd met 

 de aanname dat F 1 een tweedimensionaal continuüm is (de afbeel- 

 ding der omgeving van een punt van een tweedimensionaal continuüm 

 op de omgeving van een punt in een plat vlak kan weliswaar op 

 oneindig veel manieren geschieden, maar de omgeving van een punt 

 in een plat vlak kan door (1,1 ) continue transformatie in het vlak 

 nooit in iets anders overgaan dan weer in de omgeving van een punt). 



Tweede geval. A ligt op de rechte a van F" en is keerpunt in 

 f} en 7. De keerpuntsraaklijnen vallen niet samen dus de snijlijn b 

 van j? en y is in geen dezer beide vlakken keerpuntsraaklijn. De 

 lijn b heeft dus behalve A nog een punt B met F s gemeen en de 

 doorsnede in het vlak a door a en b bestaat uit a en een ovaal 

 door .4 en B. De lijn /; verdeelt /■? in twee halfvlakken : in het eene 

 vertrekken de keerpuntstakken vanuit .4, dus in het andere is A 

 geïsoleerd. Eveneens is A geïsoleerd in een der halfvlakken waarin 

 7 door b verdeeld wordt. Op grond van een vroeger (§ 5, tweede 

 mededeeling) gegeven bewijs is A dan geïsoleerd in den geheelen 

 ruimteboek « 180°) tusschen die twee halfvlakken. De lijn a die 

 geheel tot F 3 behoort, kan dus niet door dezen ruimteboek gaan 

 m.a.w. de halfvlakken van fi en y waarin de keerpuntstakken ver- 

 trekken liggen aan dezelfde zijde van het vlak « door a en b, laat 

 ons zeggen beneden u. 



In a komen vier takken in A, achtereenvolgens AP. AQ, AR 

 en AS (twee op a en twee op ovaal). Laat AP met AQ en AR 

 met AS samenhangen boven a. De lijn b moet dan liggen binnen 

 de hoeken QAR en PAS daar door b vlakken gaan, waarin A boven 

 a geïsoleerd is. Zij.c een lijn door A binnen den hoek .R4Qendus 

 ook binnen SAR (dit zou onmogelijk kunnen zijn indien het ovaal 

 in a de lijn a in A raakt, hierop komen we terug). Op grond van 

 voorgaande resultaten is A dubbelpunt of keerpunt in elk vlak door 

 r. In elk vlak door c echter komen twee takken in .4 van boven 

 a namelijk één op de puntverzameling die AP met AQ verbindten 

 de andere op die waardoor AR m'et AS samenhangt. Wanneer nu 

 .1 keerpunt was in een vlak door c dan zou, aangezien de takken 

 van boven « komen, hoogstens één vlak door b mogelijk zijn waarin 

 .4 boven « geïsoleerd is en dit is in strijd met het voorgaande. .4 

 is dus dubbelpunt in elk vlak door c : een ongerijmdheid. 



Blijft te beschouwen het geval dat het ovaal in a de lijn a in A 

 raakt. We verdeelen dit weer in twee gevallen I en II naarmate 



