761 



er al dan niet halfvlakken door b boven « voorkomen waarin .4 

 niet geïsoleerd is. 



T. In het boven « gelegen halfvlak van een vlak ó door b is A 

 niet geïsoleerd. Er vertrekken dan uit A in dat halfvlak twee takken, 

 aangezien A keerpunt of dubbelpunt is in elk vlak dat a niet bevat 

 en daar verder de lijn b nog het punt B van F 8 draagt. In elk 

 vlak door b komen echter twee takken van beneden a (op grond 

 van den hierboven omschreven samenhang) dus in vlak dis A gewoon 

 dubbelpunt. Hier kunnen we geen last van een rechte hebben, daar 

 volgens de onderstelling geen tweede rechte van F 1 de lijn a snijdt. 

 Wanneer d om b gewenteld wordt dan zal bij een der beide draaiings- 

 richtingen A steeds gewoon dubbelpunt blijven, tot a toe. 



Op grond hiervan mogen we aannemen dat de halfvlakken van 

 /3 en y, waarin de keerpuntstakken van uit A vertrekken, gelegen 

 zijn aan dezelfde zijde van d, laat ons zeggen beneden d. 



In d kiezen we nu een lijn d gelegen in den anderen hoek der 

 nadere raaklijnen als waar binnen b ligt. Op dezelfde wijze als 

 hierboven blijkt weer dat A nu dubbelpunt zou moeten zijn in elk 

 vlak door d. Slechts voor het vlak door a en d wordt de rede- 

 neering een weinig anders, maar de wijziging is evident. 



Het geval I is hiermee afgehandeld. 



II. In elk halfvlak door b boven « is A geisoleerd. In elk vlak 

 door A dat a niet bevat is A dubbel- of keerpunt, dus in elk vlak 

 dooi' b (— 1= o.) is A keerpunt, terwijl de takken steeds van beneden 

 komen. Hieruit volgt verder dat ,1 keerpunt is in elk vlak behalve 

 a, terwijl steeds de keerpuntstakken van beneden « komen. Dit is echter 

 alleen mogelijk wanneer de keerpuntsraaklijnen één vlak f vormen 

 door a, welk vlak dan uitsluitend de lijn <t met F" gemeen heeft. 

 Laten we een vlakkenreeks e u t a : . . om n wentelende tot f naderen. 

 In elk dezer gaat een ovaal door A. 



Stel het ovaal in e h snijdt de lijn a in .1. In t„ komen dan vier 

 lakken in A, die eindige hoeken maken. Deze lakken hangen 

 beurtelings aan verschillende zijden van (■„ samen. Verder is in 

 f„ door .1 dadelijk een lijn aan Ie geven waardoor twee vlakken 

 gaan waarin A keerpunt is, zoodanig dat in beide de keerpunts- 

 takken van dezelfde zijde van f„ samenkomen. Op do Innen be- 

 schreven wijze is dan weer een contradictie te verkrijgen. 



Blijft dus over de mogelijkheid dat voor elke n hel ovaal in 

 h n in A aan <t rqakt. Hij de limiet trekken deze ovalen zich samen 

 of uitsluitend lot A dl' tot een samenhangend deel van ■> waartoe 

 .1 behoort. 



[s .1 het eenige grenspunt, dan zouden deze eontraheerende 



