762 



ovalen aan A het karakter geven van punt van een twee- 

 dimensionaal continuüm en een fundamentaalreeks van punten op 

 a waarvan A grenspunt is, zoude niet meer geplaatst kunnen worden. 

 Bestaat de grensverzameling daarentegen uit een interval van a 

 dan zijn de inwendige punten van dat interval snavelkeerpunten, 

 wat eveneens is uitgesloten. 



Er is iiu bewezen dat elk vlak door A, dat noch a noch de raak- 

 lijn in A aan het oraal in e. bevat, een gewoon punt in A vertoont 

 met raaklijn in cc. De vlakken door de raaklijn in A aan het ovaal 

 in a vertoonen een buigpunt in A met raaklijn in a. 



Resteeren dus slechts de doorsneden in vlakken door a. Hierop 

 komen wij straks terug. 



3. We komen nu aan het derde dei' op p. 755 genoemde ge- 

 vallen. De restkromme in u bestaat uit ovaal dat a in A raakt. In 

 « gaan vanuit A de takken AB en AC op a en AE en AD op het 

 ovaal. Op vrijwel zuiver dezelfde wijze als in het voorgaande blijkt 

 hier dat AC met AD samenhangt. AD met AE. AE met Ah en 

 AB met AC. De verbindende puntverzamelingen liggen weer beur- 

 telings boven en beneden «. Alles gaat dan verder als bij geval 2 

 (we herinneren nogmaals aan de onderstelling dat door A geen 

 tweede rechte gaat die geheel tot F 3 behoort. Resultaten : Elk vlak 

 door A dat a niet bevat, vertoont gewoon punt in A met raaklijn in 

 a (raking steeds van dezelfde zijde). 



De doorsneden in vlakken door a, komen nog ter sprake. 



Bij de drie hierboven behandelde gevallen had a steeds het karakter 

 van raakvlak, alleen hadden we nog geen zekerheid wat betreft de 

 doorsneden in vlakken door a. Nu we echter alle mogelijkheden 

 hebben beschouwd blijkt dat voor geen punt A twee verschillende 

 vlakken door a kunnen gaan welke beide een der behandelde karak- 

 ters hebben (we krijgen dadelijk tegenspraak wanneer we een vlak 

 door A beschouwen dat a niet bevat). Hieruit volgt, dat in de drie 

 voorgaande gevallen in geen enkel vlak door a (=|= «) takken van 

 A kunnen uitgaan (behalve a zelf). Het bewijs dat a raakvlak is, is 

 hiermee dus voltooid. 



Stelling 2. Loopt een punt A continu langs a. .dan verandert het 

 raakvlak continu. 



Laten op a de punten A x , A % . . . convergeeren tot A. Raakvlakken 

 <( x , «„....« alle gaande door a. We nemen aan dat «,.. « 2 . . . . een 



