763 



limietvlak a' hebben verschillend van <>. en laten zien dat dit tot 

 tegenspraak voert. Laten ft, ft .... £ vlakken zijn respect, door 

 A lt A? . . . A en alle J_ a. Zij 7> x de snijlijn van a x en ft, 7> 2 die van 

 a, en ft enz. Verder zij b de snijlijn van a en /? en 7/ de snijlijn 

 van a' en ft Volgens het onderstelde valt b' niet met b samen en is 

 b' de limiet van de lijnen b^b^ . . . . 



b is de raaklijn in A aan de kromme in fi terwijl in de conver- 

 vergeerende vlakken ft, ft .... takken in A ï} A t . . . . raken aan de 

 lijnen b lt è 2 . . . . die tot b' in £ convergeeren. 



Verder herinneren we aan de stelling 

 volgens welke de kromme in /i de limiet- 

 verzameling is van de krommen in ft,ft... 

 (eventueel afgezien van een geïsoleerd 

 punt). We nemen nu in ($ door A de 

 lijnen c en d die b en è' scheiden. 



Correspondeerende vlakken door a zijn 

 y en d. 



-V-=^ -/-? — I Voor n groot genoeg gaat nu in ft en 



van v4„ naar weerszijden een tak uit 

 g binnen die overstaande hoeken tusschen y 



en d waarbinnen b' ligt. Lussen, die zich op den duur tot A samen- 

 trekken, zijn hier klaarblijkelijk onmogelijk, dus om te zorgen dat 

 in fi geen tak van A uitgaat binnen de hoeken van c en d waar- 

 binnen b' ligt, is onvermijdelijk dat in de naderende vlakken de ge- 

 noemde takken deze hoeken verlaten en wel via punten der vlakken 

 y en d (of een van beide) die tot A convergeeren. In minstens een 

 der vlakken y en d is A dus grenspunt van niet op a gelegen punten 

 van F\ dus in minstens een dezer vlakken gaat nog een tak van 

 A uit, maar dit is een contradictie aangezien er slechts in het raak- 

 vlak u nog een tak van A kan uilgaan. Stelling 2 is hiermee bewezen. 



Stel in a snijdt een ovaal de lijn a in .4. Uil ovaal hoeft dan een 

 tweede snijpunt B met a. Het raakvlak a is dus gemeenschappelijk 

 aan de punten A en B. Verplaatst A zich continu langs a dan draait 

 volgens stelling 2 het raakvlak u continu om a en mei dit continu 

 veranderende raakvlak verplaatst ook B zich continu. l ) Hieruit volgt 

 dat een punt als A, waar een ovaal a snijdt slechts grenspunt kan 

 zijn van punten op a met hetzelfde karakter. Verder bewijst men 



] ) Deze stelling en een paar andere, welke verderop worden geformuleerd aan 

 gaande de bewegingsrichtingen van A en B, zijn reeds uitgesproken door Jin. 

 Malh. Ann. 76, pag. 552. Het bestaan en continu varieeren der raakvlakken wordt 

 door dezen schrijver zonder meer gepostuleerd. 



