764 



licht dat de raaklijn in A aan het ovaal continu verandert; dit 

 resultaat hebben we hier niet noodig. Wel hebben we noodig het 

 volgende : 



Stel A„ A t ....... op a naderen tot A. Raakvlakken a x , «,....«. 



Gaat door A in « een ovaal dat a snijdt, dan bleek dat 

 voor n grooter dan zekere eindige waarde door A„ in «„ eveneens 

 een ovaal gaat dat a snijdt. Stel nu al deze ovalen in a„ keeren in 

 A n hun holle zijde naar links. 



Het ovaal in a is echter de limiet der ovalen in «„ en aangezien 

 een rundamen taaireeks van eindige concave takken geen eindigen 

 convexen tak tot limiet kan hebben, keert ook de tak e. door A de 

 holle zijde naar links. Samenvattende krijgen we: 



Stelling 3 : Een punt van a in welks raakvlak een ovaal a snijdt, 

 kan op a slechts grens punt zijn van punten met hetzelfde raakvlak- 

 karakter, ook wat betreft de zijde ivaarnaar de ovalen door die punten 

 concaaf of convex zijn. 



Stelling 4: F' is niet bestaanbaar warmeer de res/kromme in geen 

 enkel vlak door a degenereert. 



We beschouwen het geval dat de krommen der tweede orde in 

 de vlakken <>.,, « 2 . . . (gaande door a en convergeerende tot «) zich 

 samentrekken tot een deel van a. We noemden bin?ie?igebied dei- 

 ovalen het gebied dat zich uitsluitend tot a contraheert. Nu bleek 

 dat de punten van a welke tot dat deel behooren op den duur in 

 de binnengebieden der ovalen liggen. Hieruit volgt dat het deel van 

 a, dat tot het binnengebied behoort van het ovaal in er,,, moet af- 

 nemen voor toenemende n. Stel namelijk het ovaal in a n snijdt a 

 in A n en B n dan is «„ raakvlak in A n , maar kwam nu A n op den 

 duur binnen de ovalen dan zou ook « raakvlak in A„ zijn : een 

 contradictie. 



Hieruit volgt dat wanneer de ovalen zich samentrekken tot de 

 geheele rechte a geen der ovalen de rechte a kan snijden. Men kan 

 zich een voorstelling van dit geval maken door te denken aan een 

 fundamentaal reeks van hyperbolen waarvan de hoek der asymptoten 

 (waarbinnen de hyperbool ligt) tot 180° nadert, terwijl het snijpunt 

 der asymptoten op a ligt en beide asymptoten tot a convergeeren. 



Er is alles voor te zeggen om in dit geval de lijn a in a drie- 

 dubbel te tellen. Bij dit geval zou in geen enkel vlak door a een 

 tak van een punt van a uitgaan. Behalve a kan F* hier geen 

 enkele rechte bevatten. 



Een tweede geval dat we apart willen behandelen is dat in het 



