766 



De tweede onderstelling is dat A en B zich in tegengestelde lich- 

 tingen bewegen. Laten we het raakvlak achtereenvolgens naar beide 

 richtingen wentelen, dan krijgen we twee verschillende ontmoetings- 

 punten van A en B. Een ontmoeting kan plaats hebben doordat 

 twee snijpunten van een ovaal met a samenkomen in een raak- 

 punt of doordat een ovaal zich tot een punt samentrekt. In beide 

 gevallen keeren de door A en B gaande bogen de concave zijden 

 naar elkaar toe. A priori lijkt mogelijk dat vóór de ontmoeting de 

 bogen door A en B de convexe zijden naar elkaar toekeeren, maar 

 deze bogen zouden dan aan beide zijden door het oneindige samen- 

 hangen en bij de limiet zou het ovaal degenereeren in twee rechten l ) 

 door het ontmoetingspunt, wat tegen het onderstelde strijdt. 



Gaan we nu van de oorspronkelijke positie van A en B uit en 

 letten we alleen op A. Stel de boog door A keert de concave zijde 

 naar links. Wentelen we het raakvlak nu zoo dat punt A naar 

 rechts gaat, dan blijft de concave zijde naar links wijzen. Maar voor 

 de ontmoeting met B plaats vindt moet de concave zijde naar rechts 

 (d. w. z. in de richting der beweging) zijn gekeerd en dit leidt tot 

 een tegenstrijdigheid, aangezien de kromming niet discontinu van teeken 

 kan veranderen en volgens het onderstelde zich ook niet kan wijzi- 

 gen via een degeneratie van het ovaal in twee rechten. 



Het bewijs is hiermee voltooid. 



Opmerking. We spraken van de ontmoetingen van A en B en 

 beschouwden de mogelijkheid dat het ovaal door A en B zich 

 samentrekt tot het ontmoetingspunt. Het meest voor de hand liggende 

 is dan om dat ontmoetingspunt in het raakvlak als puntovaal op te 

 vatten. Men kan zich echter ook denken dat het ovaal door A en B 

 zich samentrekt tot een segment van a. Alle punten van dat segment 

 hebben dan hetzelfde raakvlak (raakvlak van de eerste soort, aan 

 het begin behandeld). Tegen toelating dezer mogelijkheid is echter 

 dat men dan in het raakvlak dat segment wel zou moeten beschou- 

 wen als een bijzonder soort ovaal en teruggaande tot de definitie 

 van elementairkrommen zou men dan niet alleen geïsoleerde punten 

 maar ook lijnsegmenten moeten toelaten. Dit zou aanleiding geven 

 tot vrijwat uitvoeriger ontwikkelingen, terwijl de verwijding der 

 resultaten waarschijnlijk triviaal blijft. Om een voorbeeld te noemen 

 zouden aan de oppervlakken der tweede orde worden toegevoegd 

 de vlakke convexe gebieden, inclusief grens en het lijnsegment. Veel 

 ingrijpender veranderingen zou men krijgen als tevens de beperking 



') Het ovaal convergeert niet tot a. 



