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II. Multiplicirt man den halben Durchmesser eines Kreises mit 

 der halben Summe der Seiten einer in den Kreis beschriebenen Figur, 

 so ist das Product kleiner als der Kreisinhalt. — Der Beweis ist sehr einfach 

 geführt und in dem Korollar wieder auf den Inhalt der Kugel erweitert. 



III. Wenn eine gegebene Gerade kleiner ist als der Umfang eines 

 Kreises, so kann man stets in diesen Kreis ein Polygon einzeichnen, 

 dessen Umfang grösser ist als die gegebene Gerade; und wenn die ge- 

 gebene Gerade grösser ist als der Kreisumfang, so lässt sich jederzeit 

 ein Polygon um den Kreis zeichnen, dessen Umfang kleiner ist als die 

 gegebene Gerade. — Bei dem Beweise dieses Satzes sind stillschweigend die Sätze 

 aus der Lehre von den isoperimetrischen Figuren benutzt, dass der Umfang einer überall 

 convexen Figur, welche eine andere ebenfalls überall convexe Figur einschliesst, grösser 

 ist als der Umfang der letzteren, wenn sie aber eingeschlossen wird, kleiner. 



IX. Der Inhalt eines Kreises ist gleich dem Producte aus dem 

 halben Durchmesser und der halben Peripherie. — Der Beweis durch Führung 

 ad absurdum geliefert. Das Korollar giebt den Inhalt eines Kreissectors als Product 

 des halben Durchmessers in den halben Bogen. 



V. Das Verhältniss des Durchmessers eines beliebigen Kreises 

 zu seinem Umfange ist constant. — Zum Verständniss des Beweises ist nöthig zu 

 beachten, dass Quadratum Rechteck bedeutet, nicht Quadrat. Dass die Verfasser diese 

 ersten fünf Sätze in trefflich logischer Folge gegeben haben, und dass sie in der Auf- 

 fassung des Productes zweier Strecken weit über die Fassung der Theoreme des Archimedes 

 hinausgegangen sind, für den der Begriff des Productes zweier Strecken überhaupt noch 

 nicht existirt, dürfte Niemand leugnen. Die Sätze de sphaera et Gylmäro I, 3, 4, 5, 6 

 und jßimensio circuli Satz 1 sind für die obigen Sätze der drei Brüder zu vergleichen. 

 Nachdem Letztere so festgestellt haben, dass das Verhältniss zwischen Durchmesser und 

 Peripherie constant ist, erübrigt noch die Darlegung, in welcher Weise dasselbe bestimmt 

 werden kann. Hier schliessen sie sich in jeder Beziehung, was Zahlen betrifft, 



VI. sklavisch an Aechimedes an, während ihre Buchstaben sich nicht mit dem- 

 selben decken. Der geschichtlichen Wichtigkeit halber habe ich die merkwürdige Art 

 und Weise, in welcher unser Manuscript grosse Zahlen schreibt, beizubehalten für nöthig 

 gehalten. I 305 534 z. B. schreibt es 1 000 000 und 300 und 5 Tausend und 500 und 34. 

 Die Rechnung ist genau wie bei Eutokius geführt, die Verfasser geben aber den Grund 

 an, weshalb die Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreiecks mit dem spitzen Winkel gleich 

 30° gerade gleich 306 angenommen ist, weil dadurch die Rechnung sich vereinfacht. 

 Da das Verhältniss constant ist, hängt dasselbe von diesem oder jenem gewählten Werthe 



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